https://youtu.be/63rXYs6c0WsFinding of shaded region
Search This Blog
Friday, February 2, 2018
Tuesday, June 27, 2017
Tuesday, May 16, 2017
Wednesday, May 10, 2017
Saturday, December 24, 2016
*భారతీయ గణిత మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్*
భారతీయ గణిత మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్
డిసెంబర్ 22 జాతీయ గణిత దినోత్సవ ప్రత్యేకం
శ్రీనివాస రామానుజన్..
భారతదేశ ఆధునిక గణిత శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరు.
నిజానికి గణితశాస్త్ర చరిత్ర భారతదేశంలో వేదకాలం నుండే ప్రారంభమైందని చెప్పవచ్చు. ప్రాచీన భారతీయులు గణితంలో ఎన్నో విషయాలు కనుగొన్నారు. సంఖ్యలను కనుగొనడంలో చాల కృషి చేశారు. దశాంశ పద్ధతిని గుర్తించిన మొదటివారు భారతీయులే.
భారతీయ గణిత చరిత్ర ఆర్యభట్ట కాలంలో స్వర్ణయుగం నుండి భాస్కరాచార్యుని వరకు ఆప్రతిహతంగా సాగింది. భాస్కరాచార్యుని తరువాతి కాలంలో బహుళ విదేశీ దండయాత్రల వలన కాబోలు గణితం కళా విహీనమైంది. అనువాదాలు, వ్యాఖ్యానాలు తప్ప పెద్దగా స్వతంత్ర గణిత సారస్వతం ఏదీ ఆవిష్కరణ కాలేదు. ఆ స్థితిలో మరల భారతీయ గణిత చరిత్రకు వన్నెలద్దిన వాడు శ్రీనివాస రామానుజన్.
ఇతడు 1887 డిశంబరు 22న శ్రీనివాస అయ్యంగార్, కోయల అయ్యంగార్ దంపతులకు మద్రాసు (తమిళనాడు) రాష్ట్రంలోని ఈరోడు గ్రామంలో పేద కుటుంబంలో జన్మించాడు. తండ్రి శ్రీనివాస అయ్యంగార్ కుంభకోణంలో చిన్న బట్టల కొట్టులో గుమాస్తాగా పనిచేసేవారు. అందువల్ల శ్రీనివాస రామానుజన్ పాఠశాల విద్య కుంభకోణం లోనే జరిగింది. చిన్ననాటి నుండి రామానుజన్ అసాధారణ తెలివితేటలు చూపేవాడు.
శ్రీనివాస రామానుజన్ బాల్యం నుంచి గణితం అంటే అభిరుచి కనబరుస్తూ తన ప్రతిభతో ఉపాధ్యాయులను ఆశ్చర్యపరిచేవాడు. అయితే శ్రీనివాస రామానుజన్ గణితముపై మాత్రమే ఎక్కువ ఆసక్తి చూపేవాడు. ఇతర అంశాలలో అంతగా శ్రద్ధ పెట్టేవాడు కాదు. అందువల్ల ఇంటర్మీడియట్‌ పరీక్షలో ఉత్తీర్ణుడు కాలేకపోయాడు.
ఒకసారి తరగతి గదిలో గణిత ఉపాధ్యాయుడు ‘ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యచో భాగిస్తే ఒకటి వస్తుంద’ని చెప్పినప్పుడు ‘సున్నను సున్నతో భాగించినప్పుడు ఒకటి ఎలా వస్తుంది?’ అని ప్రశ్నించాడు రామానుజన్.
ప్రాథమిక విద్యకు సంబంధించిన పరీక్షలలో జిల్లాలో ప్రథముడిగా ఉత్తీర్ణుడైనాడు రామానుజన్. ఉపకార వేతనం పొందాడు. 10వ తరగతి చదివే రోజులలో అతడు బీజగణితము, త్రికోణమితి, కలన గణితము, వైశ్లేషిక రేఖాగణితము మొదలగు వానిని అధ్యయనం చేశాడు. త్రికోణమితిని తన 12 సంవత్సరాల వయసులోనే పూర్తి చేశాడు.
శ్రీనివాస రామానుజన్ను ఎక్కువగా ప్రభావితం చేసినది కార్‌ వ్రాసిన ‘సినాప్సిస్‌’. దానిలో 6 వేలకు పైగా నిరూపణలు చేసిన సిద్ధాంతాలున్నాయి. అనేక సిద్ధాంతాలను తనకు తానుగా నిరూపించి శ్రీనివాసరామానుజన్‌ తన ప్రతిభను ప్రపంచ వ్యాప్తంగా తెలిసేలా చేశాడు.
10వ తరగతి ప్రథమ శ్రేణిలో ఉత్తీర్ణుడైన తరువాత కుంభకోణం ప్రభుత్వ కళాశాలలో F.A.లో చేరాడు. కాని కృతార్థుడు కాలేకపోయాడు. అందువల్ల కళాశాల విద్యలో రాణించలేకపోయాడు. ఒక సంవత్సరం తరువాత తిరిగి కళాశాలలో చేరినా లాభం లేకపోయింది. డిగ్రీ పొందకుండానే ఇంటికి తిరిగి వచ్చాడు.
విద్యాభ్యాసము కుంటుపడుతున్నా రామానుజన్ గణిత పరిశోధనలకు ఆటంకం కలుగనీయలేదు. నెల్లూరు కలెక్టరు రామస్వామి అయ్యంగార్ గారికి తన నోట్‌బుక్‌ చూపించి ప్రభుత్వం ద్వారా ఉపకార వేతనం పొందుతూ పరిశోధనలు చేశాడు.
కొన్నాళ్ళ తరువాత రామానుజన్‌కు జానకితో వివాహం అయింది. సంపాదన కోసం మద్రాసు ప్రెసిడెన్సిలో చిన్న గుమాస్తాగా చేరాడు. గణిత పరిశోధనలపై శ్రీనివాస రామానుజన్‌కు ఉన్న శ్రద్ధ, అతని శాంత స్వభావం చూసి డా||వాకర్‌ రామానుజన్‌కు మద్రాసు యూనివర్సిటీ నుండి రూ|| 75/- పరిశోధన ఉపకార వేతనం ఇప్పించాడు.
మొదటిసారిగా 1913 జనవరి 16 మకర సంక్రాంతి నాడు ప్రొఫెసర్. హార్దికి రామానుజన్ స్వయంగా, తన అర్హతలు, గణితంలో గల ప్రావీణ్యత, సామర్థ్యాలను గురించి ఉత్తరం వ్రాశాడు. అది చూసి ప్రొఫెసర్ హార్డి రామానుజన్ను కేంబ్రిడ్డికి ఆహ్వానించారు. రామానుజన్ పరిశోధనలు చూసి ఆశ్చర్యపోయాడు హార్డి. 1914 మార్చి 17న రామానుజన్ మద్రాసు నుండి షిప్‌లో బయలుదేరి, 20 రోజుల ప్రయాణం తరువాత ఏప్రిల్ 7న లండన్ చేరాడు.
లండన్‌లో కేంబ్రిడ్జిలో గల ట్రినిటి కాలేజిలో ప్రవేశించి, 1917 వరకు గణిత పరిశోధనలు చేశాడు. వీటి గురించి ప్రపంచ పత్రికల్లో వ్యాసాలు ప్రచురితమయ్యాయి. దీనివలన ప్రపంచ వ్యాప్తంగా రామానుజన్ ప్రతిభ వెల్లడైంది. 1914 నుండి 1919 వరకు ఆరోగ్యాన్ని లెక్క చేయకుండా కఠోరంగా పరిశ్రమిస్తూ 32 పరిశోధనా పత్రాలు సమర్పించారు రామానుజన్.
srinivasaశుద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో శ్రీనివాస రామానుజన్ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి చెందాడు. ఈయన గణిత పరిశోధనలు ముఖ్యంగా సంఖ్యావాదానికి (Theory of Numbers) చెందినవి. 1918లో రాయల్‌ సోసైటీ ఆఫ్‌ ఇంగ్లాండు శ్రీనివాస రామానుజన్‌కు అత్యంత ప్రతిష్టాకరమైన ”ఫెలో ఆఫ్‌ రాయల్‌ సోసైటి” బిరుదునిచ్చి గౌరవించింది. 1918 లో రామానుజన్ కేంబ్రిడ్జి ట్రినిటి కళాశాల ఫెలోగా ఎన్నికయ్యాడు.
శ్రీనివాస రామానుజన్ సంఖ్య 1729 అని అంటారు. దీని ప్రత్యేకత ఏమిటంటే ఆచార్య హర్డీ టాక్సీ నెంబరు 1729. రామానుజన్ అనారోగ్యంగా వున్నప్పుడు పరామర్శించడానికి వెళ్లిన కారు నెంబరు. శ్రీనివాస రామానుజన్ 1729 యొక్క ప్రాముఖ్యత హార్డీకి వివరించారు. దానిని రెండు ఘనాల మొత్తమని చెప్పారు. దానిని రెండు రకాలుగా రాయగల మిక్కిలి చిన్న సంఖ్య అని గుర్తించిన మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్. 1729=10³+9³=12³+1³. రామానుజన్ π విలువను 3.14159265262= (9²+19²/22)¼గా చెప్పారు.
2తో ప్రారంభించి వరుస ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దాలు రామానుజన్ రాశారు. ప్రధాన సంఖ్యలపై రామానుజన్ యిచ్చిన వివరాలు ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచినవి. రామానుజన్ ”సమున్నత సంయుక్త సంఖ్య” అనే భావనను ప్రవేశపెట్టారు. రామానుజన్ ప్రతిపాదించిన ‘మాక్‌ తీటా ఫంక్షన్స్’ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచినవి. 1903-1910 సంవత్సరాల మధ్య కాలంలో రామానుజన్ కనుగొన్న తరువాత రోగర్‌-రామానుజన్ సర్వ సమీకరణంగా పేరుపొందింది. సంఖ్యల సర్వ సమానత్వాలు, సౌష్టవాలు, వాటి మధ్య సంబంధాలు అనే వాటిపై ఆయనకు గల జ్ఞానం మరో శాస్త్రవేత్తకు లేదని చెప్పవచ్చు. రామానుజన్ 3⇒√9⇒√1+2×4…..⇒… మ్యాజిక్‌ స్వ్కేర్స్‌, కంటిన్యూస్‌ ఫ్రాక్షన్స్‌, ప్రధాన సంఖ్యలు, ఎలిప్టిక్‌ ఇంటిగ్రల్స్‌పై చాల పరిశోధనలు చేశారు.
వీటిని చిన్నసైజు కాగితాలపై రాసి, ప్రొఫెసర్ వి.రామస్వామికి చూపారు. ఆరోగ్యం పూర్తిగా క్షీణించిన చివరి రోజులలో రామానుజన్ మాక్‌-తీటా ఫంక్షన్ల్‌పై చేసిన పరిశోధనలు ప్రపంచ ప్రసిద్ధి చెందినవి. 1916లో రామానుజన్ ప్రతిపాదించిన గణిత సూత్రాలు 1974లో డెల్జిన్‌ అనే ఫ్రెంచి గణిత శాస్త్రవేత్త నిరూపించాడు. ఇది రామానుజన్ ఉహాశక్తికి ఒక ఉదాహరణ మాత్రమే.
రామానుజన్ మాపన సమీకరణలు ఎంత పరిమాణము వరకైనా గుణకారాలు చేయడానికి ఉపయోగపడుతాయి. జార్జిషూ బ్రిడ్జికార్‌ రచించిన “Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics” అనే గ్రంథాన్ని సంపాదించి 6000 సమస్యలు సాధించారు రామానుజన్. ఈ ప్రతిభ శ్రీనివాస రామానుజన్‌కు మాత్రమే దక్కుతుంది. శ్రీనివాస రామానుజన్ ప్రధాన సంఖ్యలు, భిన్నములు, అనంత పరంపరలు, శృంఖలికిత భిన్నములు, నిశ్చిత శయనములు మొదలగు వాటిలోని సమస్యలు సాధించి మూడు నోటు పుస్తకాలలో నింపారు. వీటినే శ్రీనివాస రామానుజన్ ”ఫ్రేయడ్‌ నోట్‌ బుక్స్‌” అంటారు. ఈ విధంగా గణిత శాస్త్రానికి సేవ చేసినందుకు, అభివృద్ధి చేసినందుకు ”ఫెలో ఆఫ్‌ రాయల్‌ సొసైటి” బిరుదు రామానుజన్ను వరించింది. రామానుజన్ చివరలో మద్రాసు విశ్వవిద్యాలయంలో పరిశోధనాచార్య పదవి స్వీకరించారు.
గణిత పరిశోధనలపై అవిశ్రాంతంగా పనిచేయడంతో శ్రీనివాస రామానుజన్ 32 సంవత్సరాల అతి చిన్న వయసులోనే 26 ఏప్రిల్ 1920న స్వర్గస్తులయ్యారు.
శ్రీనివాస రామానుజన్‌లో అసాధరణంగా దాగియున్న అంతర్‌దృష్టి, అతణ్ణి ప్రపంచ ప్రఖ్యాత శాస్త్రవేత్తగా నిలబెట్టింది. ఏ గణిత సూత్రాన్ని నిరూపణలు లేకుండా ఆయన ఆవిష్కరించలేదు.
గణిత సూత్రాలు, గణిత ప్రవచనాలు, సిద్ధాంతాలు, నంబర్ థీరమ్స్‌ మొదలైన గణిత సేవలకు గుర్తింపుగా భారత ప్రభుత్వం శ్రీనివాస రామానుజన్ పేర తపాల బిళ్లను విడుదల చేసింది. ఆయన జన్మించిన డిశంబర్‌ 22 వ తేదీని జాతీయ గణిత దినోత్సవముగా నిర్ణయించింది.భారతీయ గణిత మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్
భారతీయ గణిత మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్
డిసెంబర్ 22 జాతీయ గణిత దినోత్సవ ప్రత్యేకం
శ్రీనివాస రామానుజన్..
భారతదేశ ఆధునిక గణిత శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరు.
నిజానికి గణితశాస్త్ర చరిత్ర భారతదేశంలో వేదకాలం నుండే ప్రారంభమైందని చెప్పవచ్చు. ప్రాచీన భారతీయులు గణితంలో ఎన్నో విషయాలు కనుగొన్నారు. సంఖ్యలను కనుగొనడంలో చాల కృషి చేశారు. దశాంశ పద్ధతిని గుర్తించిన మొదటివారు భారతీయులే.
భారతీయ గణిత చరిత్ర ఆర్యభట్ట కాలంలో స్వర్ణయుగం నుండి భాస్కరాచార్యుని వరకు ఆప్రతిహతంగా సాగింది. భాస్కరాచార్యుని తరువాతి కాలంలో బహుళ విదేశీ దండయాత్రల వలన కాబోలు గణితం కళా విహీనమైంది. అనువాదాలు, వ్యాఖ్యానాలు తప్ప పెద్దగా స్వతంత్ర గణిత సారస్వతం ఏదీ ఆవిష్కరణ కాలేదు. ఆ స్థితిలో మరల భారతీయ గణిత చరిత్రకు వన్నెలద్దిన వాడు శ్రీనివాస రామానుజన్.
ఇతడు 1887 డిశంబరు 22న శ్రీనివాస అయ్యంగార్, కోయల అయ్యంగార్ దంపతులకు మద్రాసు (తమిళనాడు) రాష్ట్రంలోని ఈరోడు గ్రామంలో పేద కుటుంబంలో జన్మించాడు. తండ్రి శ్రీనివాస అయ్యంగార్ కుంభకోణంలో చిన్న బట్టల కొట్టులో గుమాస్తాగా పనిచేసేవారు. అందువల్ల శ్రీనివాస రామానుజన్ పాఠశాల విద్య కుంభకోణం లోనే జరిగింది. చిన్ననాటి నుండి రామానుజన్ అసాధారణ తెలివితేటలు చూపేవాడు.
శ్రీనివాస రామానుజన్ బాల్యం నుంచి గణితం అంటే అభిరుచి కనబరుస్తూ తన ప్రతిభతో ఉపాధ్యాయులను ఆశ్చర్యపరిచేవాడు. అయితే శ్రీనివాస రామానుజన్ గణితముపై మాత్రమే ఎక్కువ ఆసక్తి చూపేవాడు. ఇతర అంశాలలో అంతగా శ్రద్ధ పెట్టేవాడు కాదు. అందువల్ల ఇంటర్మీడియట్‌ పరీక్షలో ఉత్తీర్ణుడు కాలేకపోయాడు.
ఒకసారి తరగతి గదిలో గణిత ఉపాధ్యాయుడు ‘ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యచో భాగిస్తే ఒకటి వస్తుంద’ని చెప్పినప్పుడు ‘సున్నను సున్నతో భాగించినప్పుడు ఒకటి ఎలా వస్తుంది?’ అని ప్రశ్నించాడు రామానుజన్.
ప్రాథమిక విద్యకు సంబంధించిన పరీక్షలలో జిల్లాలో ప్రథముడిగా ఉత్తీర్ణుడైనాడు రామానుజన్. ఉపకార వేతనం పొందాడు. 10వ తరగతి చదివే రోజులలో అతడు బీజగణితము, త్రికోణమితి, కలన గణితము, వైశ్లేషిక రేఖాగణితము మొదలగు వానిని అధ్యయనం చేశాడు. త్రికోణమితిని తన 12 సంవత్సరాల వయసులోనే పూర్తి చేశాడు.
శ్రీనివాస రామానుజన్ను ఎక్కువగా ప్రభావితం చేసినది కార్‌ వ్రాసిన ‘సినాప్సిస్‌’. దానిలో 6 వేలకు పైగా నిరూపణలు చేసిన సిద్ధాంతాలున్నాయి. అనేక సిద్ధాంతాలను తనకు తానుగా నిరూపించి శ్రీనివాసరామానుజన్‌ తన ప్రతిభను ప్రపంచ వ్యాప్తంగా తెలిసేలా చేశాడు.
10వ తరగతి ప్రథమ శ్రేణిలో ఉత్తీర్ణుడైన తరువాత కుంభకోణం ప్రభుత్వ కళాశాలలో F.A.లో చేరాడు. కాని కృతార్థుడు కాలేకపోయాడు. అందువల్ల కళాశాల విద్యలో రాణించలేకపోయాడు. ఒక సంవత్సరం తరువాత తిరిగి కళాశాలలో చేరినా లాభం లేకపోయింది. డిగ్రీ పొందకుండానే ఇంటికి తిరిగి వచ్చాడు.
విద్యాభ్యాసము కుంటుపడుతున్నా రామానుజన్ గణిత పరిశోధనలకు ఆటంకం కలుగనీయలేదు. నెల్లూరు కలెక్టరు రామస్వామి అయ్యంగార్ గారికి తన నోట్‌బుక్‌ చూపించి ప్రభుత్వం ద్వారా ఉపకార వేతనం పొందుతూ పరిశోధనలు చేశాడు.
కొన్నాళ్ళ తరువాత రామానుజన్‌కు జానకితో వివాహం అయింది. సంపాదన కోసం మద్రాసు ప్రెసిడెన్సిలో చిన్న గుమాస్తాగా చేరాడు. గణిత పరిశోధనలపై శ్రీనివాస రామానుజన్‌కు ఉన్న శ్రద్ధ, అతని శాంత స్వభావం చూసి డా||వాకర్‌ రామానుజన్‌కు మద్రాసు యూనివర్సిటీ నుండి రూ|| 75/- పరిశోధన ఉపకార వేతనం ఇప్పించాడు.
మొదటిసారిగా 1913 జనవరి 16 మకర సంక్రాంతి నాడు ప్రొఫెసర్. హార్దికి రామానుజన్ స్వయంగా, తన అర్హతలు, గణితంలో గల ప్రావీణ్యత, సామర్థ్యాలను గురించి ఉత్తరం వ్రాశాడు. అది చూసి ప్రొఫెసర్ హార్డి రామానుజన్ను కేంబ్రిడ్డికి ఆహ్వానించారు. రామానుజన్ పరిశోధనలు చూసి ఆశ్చర్యపోయాడు హార్డి. 1914 మార్చి 17న రామానుజన్ మద్రాసు నుండి షిప్‌లో బయలుదేరి, 20 రోజుల ప్రయాణం తరువాత ఏప్రిల్ 7న లండన్ చేరాడు.
లండన్‌లో కేంబ్రిడ్జిలో గల ట్రినిటి కాలేజిలో ప్రవేశించి, 1917 వరకు గణిత పరిశోధనలు చేశాడు. వీటి గురించి ప్రపంచ పత్రికల్లో వ్యాసాలు ప్రచురితమయ్యాయి. దీనివలన ప్రపంచ వ్యాప్తంగా రామానుజన్ ప్రతిభ వెల్లడైంది. 1914 నుండి 1919 వరకు ఆరోగ్యాన్ని లెక్క చేయకుండా కఠోరంగా పరిశ్రమిస్తూ 32 పరిశోధనా పత్రాలు సమర్పించారు రామానుజన్.
srinivasaశుద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో శ్రీనివాస రామానుజన్ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి చెందాడు. ఈయన గణిత పరిశోధనలు ముఖ్యంగా సంఖ్యావాదానికి (Theory of Numbers) చెందినవి. 1918లో రాయల్‌ సోసైటీ ఆఫ్‌ ఇంగ్లాండు శ్రీనివాస రామానుజన్‌కు అత్యంత ప్రతిష్టాకరమైన ”ఫెలో ఆఫ్‌ రాయల్‌ సోసైటి” బిరుదునిచ్చి గౌరవించింది. 1918 లో రామానుజన్ కేంబ్రిడ్జి ట్రినిటి కళాశాల ఫెలోగా ఎన్నికయ్యాడు.
శ్రీనివాస రామానుజన్ సంఖ్య 1729 అని అంటారు. దీని ప్రత్యేకత ఏమిటంటే ఆచార్య హర్డీ టాక్సీ నెంబరు 1729. రామానుజన్ అనారోగ్యంగా వున్నప్పుడు పరామర్శించడానికి వెళ్లిన కారు నెంబరు. శ్రీనివాస రామానుజన్ 1729 యొక్క ప్రాముఖ్యత హార్డీకి వివరించారు. దానిని రెండు ఘనాల మొత్తమని చెప్పారు. దానిని రెండు రకాలుగా రాయగల మిక్కిలి చిన్న సంఖ్య అని గుర్తించిన మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్. 1729=10³+9³=12³+1³. రామానుజన్ π విలువను 3.14159265262= (9²+19²/22)¼గా చెప్పారు.
2తో ప్రారంభించి వరుస ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దాలు రామానుజన్ రాశారు. ప్రధాన సంఖ్యలపై రామానుజన్ యిచ్చిన వివరాలు ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచినవి. రామానుజన్ ”సమున్నత సంయుక్త సంఖ్య” అనే భావనను ప్రవేశపెట్టారు. రామానుజన్ ప్రతిపాదించిన ‘మాక్‌ తీటా ఫంక్షన్స్’ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచినవి. 1903-1910 సంవత్సరాల మధ్య కాలంలో రామానుజన్ కనుగొన్న తరువాత రోగర్‌-రామానుజన్ సర్వ సమీకరణంగా పేరుపొందింది. సంఖ్యల సర్వ సమానత్వాలు, సౌష్టవాలు, వాటి మధ్య సంబంధాలు అనే వాటిపై ఆయనకు గల జ్ఞానం మరో శాస్త్రవేత్తకు లేదని చెప్పవచ్చు. రామానుజన్ 3⇒√9⇒√1+2×4…..⇒… మ్యాజిక్‌ స్వ్కేర్స్‌, కంటిన్యూస్‌ ఫ్రాక్షన్స్‌, ప్రధాన సంఖ్యలు, ఎలిప్టిక్‌ ఇంటిగ్రల్స్‌పై చాల పరిశోధనలు చేశారు.
వీటిని చిన్నసైజు కాగితాలపై రాసి, ప్రొఫెసర్ వి.రామస్వామికి చూపారు. ఆరోగ్యం పూర్తిగా క్షీణించిన చివరి రోజులలో రామానుజన్ మాక్‌-తీటా ఫంక్షన్ల్‌పై చేసిన పరిశోధనలు ప్రపంచ ప్రసిద్ధి చెందినవి. 1916లో రామానుజన్ ప్రతిపాదించిన గణిత సూత్రాలు 1974లో డెల్జిన్‌ అనే ఫ్రెంచి గణిత శాస్త్రవేత్త నిరూపించాడు. ఇది రామానుజన్ ఉహాశక్తికి ఒక ఉదాహరణ మాత్రమే.
రామానుజన్ మాపన సమీకరణలు ఎంత పరిమాణము వరకైనా గుణకారాలు చేయడానికి ఉపయోగపడుతాయి. జార్జిషూ బ్రిడ్జికార్‌ రచించిన “Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics” అనే గ్రంథాన్ని సంపాదించి 6000 సమస్యలు సాధించారు రామానుజన్. ఈ ప్రతిభ శ్రీనివాస రామానుజన్‌కు మాత్రమే దక్కుతుంది. శ్రీనివాస రామానుజన్ ప్రధాన సంఖ్యలు, భిన్నములు, అనంత పరంపరలు, శృంఖలికిత భిన్నములు, నిశ్చిత శయనములు మొదలగు వాటిలోని సమస్యలు సాధించి మూడు నోటు పుస్తకాలలో నింపారు. వీటినే శ్రీనివాస రామానుజన్ ”ఫ్రేయడ్‌ నోట్‌ బుక్స్‌” అంటారు. ఈ విధంగా గణిత శాస్త్రానికి సేవ చేసినందుకు, అభివృద్ధి చేసినందుకు ”ఫెలో ఆఫ్‌ రాయల్‌ సొసైటి” బిరుదు రామానుజన్ను వరించింది. రామానుజన్ చివరలో మద్రాసు విశ్వవిద్యాలయంలో పరిశోధనాచార్య పదవి స్వీకరించారు.
గణిత పరిశోధనలపై అవిశ్రాంతంగా పనిచేయడంతో శ్రీనివాస రామానుజన్ 32 సంవత్సరాల అతి చిన్న వయసులోనే 26 ఏప్రిల్ 1920న స్వర్గస్తులయ్యారు.
శ్రీనివాస రామానుజన్‌లో అసాధరణంగా దాగియున్న అంతర్‌దృష్టి, అతణ్ణి ప్రపంచ ప్రఖ్యాత శాస్త్రవేత్తగా నిలబెట్టింది. ఏ గణిత సూత్రాన్ని నిరూపణలు లేకుండా ఆయన ఆవిష్కరించలేదు.
గణిత సూత్రాలు, గణిత ప్రవచనాలు, సిద్ధాంతాలు, నంబర్ థీరమ్స్‌ మొదలైన గణిత సేవలకు గుర్తింపుగా భారత ప్రభుత్వం శ్రీనివాస రామానుజన్ పేర తపాల బిళ్లను విడుదల చేసింది. ఆయన జన్మించిన డిశంబర్‌ 22 వ తేదీని జాతీయ గణిత దినోత్సవముగా నిర్ణయించింది.
Saturday, October 1, 2016
SA 1 MATHS ALL CLASSES PRINCIPLES
SA1 10 CLASS MATHS PAPER 1 PRINCIPLES OF VALLATION
SA1 10 CLASS MATHS PAPER2 PRINCIPLES OF VALLUATION
SA 1 9 CLASS MATHS PAPER 1PRINCIPLES OF VALLATION
SA1 9 CLASS PAPER 2 MATHS PRINCIPLES OF VALLUATION
SA1 8 CLASS MATHS PRINCIPLES OF VALLATION
SA1 7 CLASS MATHS PRINCIPLES OF VALLUATION
SA1 6 CLASS MATHS PRINCIPLES OF VALLUATION
Wednesday, July 27, 2016
Friday, July 22, 2016
22 Jul Pi Approximation Day
*22 జూలై పై “π” సామీప్య దినోత్సవము (22 Jul Pi Approximation Day)*
గణిత శాస్త్రంలో వృత్తానికీ,దాని వ్యాసమునకు గల నిష్పత్తిని గ్రీకు అక్షరమైన π తో సూచిస్తారు.
మానవ నాగరితతో పాటుగా “π” (22/7) భావనకు సమాంతర చరిత్ర ఉంది. గణిత శాస్త్ర అధ్యయనం ప్రారంభమైననాటినుండి నేటివరకు, రేపటి తరాలలోకూడా శాస్త్రవేత్తలనూ, గణితాధ్యాయిలనూ, ఉపాధ్యాయులనూ ఈసంఖ్య అబ్బురపరుస్తూనే ఉంటుంది. రేఖా గణితం, త్రికోణమితి శాస్త్రాలలో ఈ భావన సర్వాంతర్యామి. ఈభావన స్పృజించకుండా ఏ అనువర్తిత శాస్త్రమూ (applied science) మనజాలలేదనడం అతిశయోక్తి కాదు. π విలువ ఒక కరణీయ సంఖ్య (దశాంశం తదుపరి శేషము 0 అంటె శూన్యము రాకుండా, ఒకే అంకె పునరావృతం కాకుండా, అంకెలపరంపర- అనంతంగా- కొనసాగుతూనే ఉంటుంది).
భారత గణితవేత్తలు వేదాంగాలలోనూ, సులభసూత్రాలలోనూ దీన్ని చర్చించి, విలువను గణించారు. ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత దాని వ్యాసానికి మూడింతల పొడుగుంటుందని లెక్కించారు. మహాభారత భీష్మపర్వం‌లో (XII: 44) 3 గా సూచించారు.
సులభ సూత్రాలు, మానవ సులభ సూత్రాలు, జైనులు, తదనంతరం వరాహమిహిరుడు, బ్రహ్మగుప్తుడు, శ్రీధరుడు సైతం ఈ విషయాన్ని చర్చించారు. ఆర్యభట్ట (క్రీ. శ. 476) తో భారతీయ గణిత శాస్త్రంలో నూతన అధ్యాయం ప్రారంభమైంది. ఆర్య భట్ట దీనిని 62832/20000 = 3.1416 గా గణించాడు. నాలుగు దశాంశాలవరకూ ఈ విలువ ఖగోళ శాస్త్రంలో ఖచ్చితంగా సరిపొయింది. ఈ భావననూ, విలువనూ తదనంతరం చైనీయులూ, అరబ్బులూ స్వీకరించారు. తదుపరి కేరళ రాష్ట్రానికి చెందిన సంగ్రామ మాధవుడు దీని విలువను పదకొండు దశాంశాలవరకు లెక్కించాడు. π విలువను గణిత శాస్త్రవేత్తలు నాలుగు దశాంశాలలో 3.1415 గా నిర్ధారించారు.
*బ్రిటష్‌వారు తేదీ. నెల. సంవత్సరం రూపం‌లొ (Date format) 22/7 (జులై) తేదీన π దినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తే* , *అమెరికన్లు నెల.తేదీ. సంవత్సరం రూపం‌లొ (Date format) మార్చి 14 వ తేదీన (π =3.14) π దినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తారు.* π విలువ నాలుగు దశాంశాలవరకు 3.1415 కావడంవల్ల 2015 సం. మార్చ్ నెల 14 వతేదీని అమెరికన్లు సూపర్ π దినోత్సవంగా జరుపుకున్నారు. తిరిగి సూపర్ π దినోత్సవం శతాబ్దం తర్వాత అంటే 2115లో సంభవిస్తుంది.
Π దినోత్సవం గురించి మరిన్ని విశేషాలు తెల్సుకుందాం.
• గణీతవేత్తలు 22/7 ఫలితాన్ని అరవైనాలుగుకోట్ల దశాంశంవరకు లెక్కించారు. విచిత్రం, ఒక్కసారంటే ఒక్కసారికూడా 123456లు వరుసగా రాలేదు.
• గ్రీకువర్ణమాలలో π స్థానం 16 అలాగే ఆంగ్లవర్ణమాలలోనూ p అక్షర స్థానం 16యే.
• మరో విచిత్రమైన సారూప్యం. విశ్వ విఖ్యాత భౌతికశాస్త్రవేత్త ఆల్బర్ట్ ఐన్‌స్టీన్, నిత్య సత్యాగ్రహి ఇరోమ్ షర్మిల (మణిపూర్) జన్మించింది కూడా మార్చి నెల 14 వ తేదీన. ఐన్‌స్టీన్ ప్రవచించిన పరమాణు శక్తికి సూత్రం E=mc2 అర్ధంచేసుకోవడానికి బుర్ర బద్దలుకొట్టుకోవాల్సివస్తుంది. బుర్రబద్దలుకొట్టుకున్నా π విలువను కనుక్కోవడం అసంభవం. మ‌ణిపూర్‌లో మానవహక్కుల ప్రతిష్టాపన జరిగేదాకా ఈరోమ్ షర్మిలకూడా అంతులేని పోరాటం చేస్తానంటూంది.
• Π విలువను అరవైనాలుగుకోట్ల దశాంశాలవరకు పరిష్కరించారు. ఈసంఖ్యను ఏకబిగిన చదవడానికి 133 సంవత్సరాల కాలం పడుతుంది. అంటే మళ్ళీవచ్చే సూపర్ π దినోత్సవం (2115) వరకు కూడా చదవడం పూర్తికాదు.
• వృత్తానికి మూలలు లేవనిచెబుతారు. నిజానికి వృత్తపు చుట్టుకొలతలోగల కోణాలు అనంతం, దానిలోని దశాంశాల మాదిరిగానే.
• 14 మార్చినుండి 22 జులై వరకు (రెండుతేదీలను కలిపి) 131 రోజులు. ఐక్యూ 131 గాఉన్నవారిని అత్యంత మేధోసంపత్తిగలవారిగా పరిగణిస్తారు. నిజం, π విలువను పరిష్కరించినవారు నిక్కంగా అత్యంత మేధావియే.
• ఇంకా 131 ఒక ప్రధాన సంఖ్య.
• Π (పై) లోనికి వెళ్ళి చూస్తే భీకర భీతావహంగా ఉందికదూ!!!
π దినోత్సవాలలో ప్రాచీనభారతం‌లోనూ నాటిసమకాలీన నాగరికతలలోనూ గణిత శాస్త్రంలో జరిగిన అభివృధ్దిని చర్చించి వ్యాసరచన, వక్తృత్వపోటీలు నిర్వహించవచ్చు. నిర్దిష్ట సమయంలో దీని విలువను ఎన్ని దశాంశం‌లవరకు సాధించగలరో పోటీనిర్వహించి చిన్న చిన్న బహుమతులు ఇవ్వవచ్చు. గణితం పట్ల ఆసక్తిపెంచడానికి ఈ తేదీని వేదిక చేసుకోవడం ఉపయుక్తం.
J N SWAMY
గణిత శాస్త్రంలో వృత్తానికీ,దాని వ్యాసమునకు గల నిష్పత్తిని గ్రీకు అక్షరమైన π తో సూచిస్తారు.
మానవ నాగరితతో పాటుగా “π” (22/7) భావనకు సమాంతర చరిత్ర ఉంది. గణిత శాస్త్ర అధ్యయనం ప్రారంభమైననాటినుండి నేటివరకు, రేపటి తరాలలోకూడా శాస్త్రవేత్తలనూ, గణితాధ్యాయిలనూ, ఉపాధ్యాయులనూ ఈసంఖ్య అబ్బురపరుస్తూనే ఉంటుంది. రేఖా గణితం, త్రికోణమితి శాస్త్రాలలో ఈ భావన సర్వాంతర్యామి. ఈభావన స్పృజించకుండా ఏ అనువర్తిత శాస్త్రమూ (applied science) మనజాలలేదనడం అతిశయోక్తి కాదు. π విలువ ఒక కరణీయ సంఖ్య (దశాంశం తదుపరి శేషము 0 అంటె శూన్యము రాకుండా, ఒకే అంకె పునరావృతం కాకుండా, అంకెలపరంపర- అనంతంగా- కొనసాగుతూనే ఉంటుంది).
భారత గణితవేత్తలు వేదాంగాలలోనూ, సులభసూత్రాలలోనూ దీన్ని చర్చించి, విలువను గణించారు. ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత దాని వ్యాసానికి మూడింతల పొడుగుంటుందని లెక్కించారు. మహాభారత భీష్మపర్వం‌లో (XII: 44) 3 గా సూచించారు.
సులభ సూత్రాలు, మానవ సులభ సూత్రాలు, జైనులు, తదనంతరం వరాహమిహిరుడు, బ్రహ్మగుప్తుడు, శ్రీధరుడు సైతం ఈ విషయాన్ని చర్చించారు. ఆర్యభట్ట (క్రీ. శ. 476) తో భారతీయ గణిత శాస్త్రంలో నూతన అధ్యాయం ప్రారంభమైంది. ఆర్య భట్ట దీనిని 62832/20000 = 3.1416 గా గణించాడు. నాలుగు దశాంశాలవరకూ ఈ విలువ ఖగోళ శాస్త్రంలో ఖచ్చితంగా సరిపొయింది. ఈ భావననూ, విలువనూ తదనంతరం చైనీయులూ, అరబ్బులూ స్వీకరించారు. తదుపరి కేరళ రాష్ట్రానికి చెందిన సంగ్రామ మాధవుడు దీని విలువను పదకొండు దశాంశాలవరకు లెక్కించాడు. π విలువను గణిత శాస్త్రవేత్తలు నాలుగు దశాంశాలలో 3.1415 గా నిర్ధారించారు.
*బ్రిటష్‌వారు తేదీ. నెల. సంవత్సరం రూపం‌లొ (Date format) 22/7 (జులై) తేదీన π దినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తే* , *అమెరికన్లు నెల.తేదీ. సంవత్సరం రూపం‌లొ (Date format) మార్చి 14 వ తేదీన (π =3.14) π దినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తారు.* π విలువ నాలుగు దశాంశాలవరకు 3.1415 కావడంవల్ల 2015 సం. మార్చ్ నెల 14 వతేదీని అమెరికన్లు సూపర్ π దినోత్సవంగా జరుపుకున్నారు. తిరిగి సూపర్ π దినోత్సవం శతాబ్దం తర్వాత అంటే 2115లో సంభవిస్తుంది.
Π దినోత్సవం గురించి మరిన్ని విశేషాలు తెల్సుకుందాం.
• గణీతవేత్తలు 22/7 ఫలితాన్ని అరవైనాలుగుకోట్ల దశాంశంవరకు లెక్కించారు. విచిత్రం, ఒక్కసారంటే ఒక్కసారికూడా 123456లు వరుసగా రాలేదు.
• గ్రీకువర్ణమాలలో π స్థానం 16 అలాగే ఆంగ్లవర్ణమాలలోనూ p అక్షర స్థానం 16యే.
• మరో విచిత్రమైన సారూప్యం. విశ్వ విఖ్యాత భౌతికశాస్త్రవేత్త ఆల్బర్ట్ ఐన్‌స్టీన్, నిత్య సత్యాగ్రహి ఇరోమ్ షర్మిల (మణిపూర్) జన్మించింది కూడా మార్చి నెల 14 వ తేదీన. ఐన్‌స్టీన్ ప్రవచించిన పరమాణు శక్తికి సూత్రం E=mc2 అర్ధంచేసుకోవడానికి బుర్ర బద్దలుకొట్టుకోవాల్సివస్తుంది. బుర్రబద్దలుకొట్టుకున్నా π విలువను కనుక్కోవడం అసంభవం. మ‌ణిపూర్‌లో మానవహక్కుల ప్రతిష్టాపన జరిగేదాకా ఈరోమ్ షర్మిలకూడా అంతులేని పోరాటం చేస్తానంటూంది.
• Π విలువను అరవైనాలుగుకోట్ల దశాంశాలవరకు పరిష్కరించారు. ఈసంఖ్యను ఏకబిగిన చదవడానికి 133 సంవత్సరాల కాలం పడుతుంది. అంటే మళ్ళీవచ్చే సూపర్ π దినోత్సవం (2115) వరకు కూడా చదవడం పూర్తికాదు.
• వృత్తానికి మూలలు లేవనిచెబుతారు. నిజానికి వృత్తపు చుట్టుకొలతలోగల కోణాలు అనంతం, దానిలోని దశాంశాల మాదిరిగానే.
• 14 మార్చినుండి 22 జులై వరకు (రెండుతేదీలను కలిపి) 131 రోజులు. ఐక్యూ 131 గాఉన్నవారిని అత్యంత మేధోసంపత్తిగలవారిగా పరిగణిస్తారు. నిజం, π విలువను పరిష్కరించినవారు నిక్కంగా అత్యంత మేధావియే.
• ఇంకా 131 ఒక ప్రధాన సంఖ్య.
• Π (పై) లోనికి వెళ్ళి చూస్తే భీకర భీతావహంగా ఉందికదూ!!!
π దినోత్సవాలలో ప్రాచీనభారతం‌లోనూ నాటిసమకాలీన నాగరికతలలోనూ గణిత శాస్త్రంలో జరిగిన అభివృధ్దిని చర్చించి వ్యాసరచన, వక్తృత్వపోటీలు నిర్వహించవచ్చు. నిర్దిష్ట సమయంలో దీని విలువను ఎన్ని దశాంశం‌లవరకు సాధించగలరో పోటీనిర్వహించి చిన్న చిన్న బహుమతులు ఇవ్వవచ్చు. గణితం పట్ల ఆసక్తిపెంచడానికి ఈ తేదీని వేదిక చేసుకోవడం ఉపయుక్తం.
J N SWAMY
Tuesday, July 19, 2016
Thursday, February 4, 2016
Theorems and Postulates for Geometry
|
This is a partial listing of the more popular theorems, postulates and properties
needed when working with Euclidean proofs. You need to have a thorough understanding of these items.
needed when working with Euclidean proofs. You need to have a thorough understanding of these items.
General:
| Reflexive Property | A quantity is congruent (equal) to itself. a = a |
| Symmetric Property | If a = b, then b = a. |
| Transitive Property | If a = b and b = c, then a = c. |
| Addition Postulate | If equal quantities are added to equal quantities, the sums are equal. |
| Subtraction Postulate | If equal quantities are subtracted from equal quantities, the differences are equal. |
| Multiplication Postulate | If equal quantities are multiplied by equal quantities, the products are equal. (also Doubles of equal quantities are equal.) |
| Division Postulate | If equal quantities are divided by equal nonzero quantities, the quotients are equal. (also Halves of equal quantities are equal.) |
| Substitution Postulate | A quantity may be substituted for its equal in any expression. |
| Partition Postulate | The whole is equal to the sum of its parts. Also: Betweeness of Points: AB + BC = AC Angle Addition Postulate: m<ABC + m<CBD = m<ABD |
| Construction | Two points determine a straight line. |
| Construction | From a given point on (or not on) a line, one and only one perpendicular can be drawn to the line. |
Angles:
| Right Angles | All right angles are congruent. |
| Straight Angles | All straight angles are congruent. |
| Congruent Supplements | Supplements of the same angle, or congruent angles, are congruent. |
| Congruent Complements | Complements of the same angle, or congruent angles, are congruent. |
| Linear Pair | If two angles form a linear pair, they are supplementary. |
| Vertical Angles | Vertical angles are congruent. |
| Triangle Sum | The sum of the interior angles of a triangle is 180º. |
| Exterior Angle | The measure of an exterior angle of a triangle is equal to the sum of the measures of the two non-adjacent interior angles. The measure of an exterior angle of a triangle is greater than either non-adjacent interior angle. |
| Base Angle Theorem(Isosceles Triangle) | If two sides of a triangle are congruent, the angles opposite these sides are congruent. |
| Base Angle Converse(Isosceles Triangle) | If two angles of a triangle are congruent, the sides opposite these angles are congruent. |
Triangles:
| Side-Side-Side (SSS) Congruence | If three sides of one triangle are congruent to three sides of another triangle, then the triangles are congruent. |
| Side-Angle-Side (SAS) Congruence | If two sides and the included angle of one triangle are congruent to the corresponding parts of another triangle, the triangles are congruent. |
| Angle-Side-Angle (ASA) Congruence | If two angles and the included side of one triangle are congruent to the corresponding parts of another triangle, the triangles are congruent. |
| Angle-Angle-Side (AAS) Congruence | If two angles and the non-included side of one triangle are congruent to the corresponding parts of another triangle, the triangles are congruent. |
| Hypotenuse-Leg (HL) Congruence (right triangle) | If the hypotenuse and leg of one right triangle are congruent to the corresponding parts of another right triangle, the two right triangles are congruent. |
| CPCTC | Corresponding parts of congruent triangles are congruent. |
| Angle-Angle (AA) Similarity | If two angles of one triangle are congruent to two angles of another triangle, the triangles are similar. |
| SSS for Similarity | If the three sets of corresponding sides of two triangles are in proportion, the triangles are similar. |
| SAS for Similarity | If an angle of one triangle is congruent to the corresponding angle of another triangle and the lengths of the sides including these angles are in proportion, the triangles are similar. |
| Side Proportionality | If two triangles are similar, the corresponding sides are in proportion. |
| Mid-segment Theorem(also called mid-line) | The segment connecting the midpoints of two sides of a triangle isparallel to the third side and is half as long. |
| Sum of Two Sides |
The sum of the lengths of any two sides of a triangle must be greater than the third side
|
| Longest Side | In a triangle, the longest side is across from the largest angle. In a triangle, the largest angle is across from the longest side. |
| Altitude Rule | The altitude to the hypotenuse of a right triangle is the mean proportional between the segments into which it divides the hypotenuse. |
| Leg Rule | Each leg of a right triangle is the mean proportional between the hypotenuse and the projection of the leg on the hypotenuse. |
Parallels:
|
Quadrilaterals:
| Parallelograms | About Sides | * If a quadrilateral is a parallelogram, the opposite sides are parallel. * If a quadrilateral is a parallelogram, the opposite sides are congruent. |
| About Angles | * If a quadrilateral is a parallelogram, the opposite angles are congruent. * If a quadrilateral is a parallelogram, the consecutive angles are supplementary. | |
| About Diagonals | * If a quadrilateral is a parallelogram, the diagonals bisect each other. * If a quadrilateral is a parallelogram, the diagonals form two congruent triangles. | |
| Parallelogram Converses | About Sides | * If both pairs of opposite sides of a quadrilateral are parallel, the quadrilateral is a parallelogram. * If both pairs of opposite sides of a quadrilateral are congruent, the quadrilateral is a parallelogram. |
| About Angles | * If both pairs of opposite angles of a quadrilateral are congruent, the quadrilateral is a parallelogram. * If the consecutive angles of a quadrilateral are supplementary, the quadrilateral is a parallelogram. | |
| About Diagonals | * If the diagonals of a quadrilateral bisect each other, the quadrilateral is a parallelogram. * If the diagonals of a quadrilateral form two congruent triangles, the quadrilateral is a parallelogram. | |
| Parallelogram | If one pair of sides of a quadrilateral is BOTH parallel and congruent, the quadrilateral is a parallelogram. | |
| Rectangle | If a parallelogram has one right angle it is a rectangle | |
| A parallelogram is a rectangle if and only if its diagonals are congruent. | ||
| A rectangle is a parallelogram with four right angles. | ||
| Rhombus | A rhombus is a parallelogram with four congruent sides. | |
| If a parallelogram has two consecutive sides congruent, it is a rhombus. | ||
| A parallelogram is a rhombus if and only if each diagonal bisects a pair of opposite angles. | ||
| A parallelogram is a rhombus if and only if the diagonals are perpendicular. | ||
| Square | A square is a parallelogram with four congruent sides and four right angles. | |
| A quadrilateral is a square if and only if it is a rhombus and a rectangle. | ||
| Trapezoid | A trapezoid is a quadrilateral with exactly one pair of parallel sides. | |
| Isosceles Trapezoid | An isosceles trapezoid is a trapezoid with congruent legs. | |
| A trapezoid is isosceles if and only if the base angles are congruent | ||
| A trapezoid is isosceles if and only if the diagonals are congruent | ||
| If a trapezoid is isosceles, the opposite angles are supplementary. | ||
Circles:
| Radius | In a circle, a radius perpendicular to a chord bisects the chord and the arc. |
| In a circle, a radius that bisects a chord is perpendicular to the chord. | |
| If a line is tangent to a circle, it is perpendicular to the radius drawn to the point of tangency. | |
| Chords |
In a circle, or congruent circles, congruent chords are equidistant from the center. (and converse)
|
| In a circle, or congruent circles, congruent chords have congruent arcs. (and converse0 | |
| In a circle, parallel chords intercept congruent arcs | |
| In the same circle, or congruent circles, congruent central angles have congruent chords (and converse) | |
| Tangents | Tangent segments to a circle from the same external point are congruent |
| Arcs | In the same circle, or congruent circles, congruent central angles have congruent arcs. (and converse) |
| Angles | An angle inscribed in a semi-circle is a right angle. |
In a circle, inscribed angles that intercept the same arc are congruent.
| |
| The opposite angles in a cyclic quadrilateral are supplementary | |
| In a circle, or congruent circles, congruent central angles have congruent arcs. |
Thursday, January 28, 2016
ISOMETRIC GRAPH REPRESENTATION
Isometric projection
Some 3D shapes using the isometric drawing method. The black dimensions are the true lengths as found in an orthographic projection. The red dimensions are used when drawing with the isometric drawing method. The same 3D shapes drawn in isometric projection would appear smaller; an isometric projection will show the object's sides foreshortened, by approximately 80%.
Isometric projection is a method for visually representing three-dimensional objects in two dimensions in technical andengineering drawings. It is an axonometric projection in which the three coordinate axes appear equally foreshortened and the angle between any two of them is 120 degrees.
Monday, December 21, 2015
Indian Maths Legend Srinivasarao Ramanujan
🎄🎍🎄
శ్రీనివాస రామానుజన్ అయ్యంగార్
(డిసెంబర్ 22, 1887—ఏప్రిల్ 26, 1920)
భారతదేశానికి చెందిన గణిత శాస్త్రవేత్త.
20వ శతాబ్దంలో ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి గాంచిన గొప్ప గణిత మేధావులలో ఒకరు.
రామానుజన్ తమిళనాడు లోని ఈరోడ్ అనే పట్టణంలో పుట్టి పెరిగాడు.
ఇతడికి పది సంవత్సరాల వయసులోనే గణితశాస్త్రం తో అనుభందం ఏర్పడింది.
చిన్న వయసులోనే గణితం పట్ల ప్రకృతి సిద్ధమైన ప్రతిభ కనపరిచేవాడు.
ఆ వయసులోనే ఎస్ ఎల్ లోనీ త్రికోణమితి మీద రాసిన పుస్తకాలను వంటపట్టించుకున్నాడు.
పదమూడు సంవత్సరాలు నిండే సరికల్లా ఆ పుస్తకాన్ని ఔపోసన పట్టడమే కాకుండా తన సొంతంగా సిద్ధాంతాలు కూడా రూపొందించడం ప్రారంభించాడు.
జీవితం
🔯బాల్యం
కుంబకోణంలోని సారంగపాణి వీధిలోని రామానుజం నివసించిన ఇల్లు
రామానుజన్ డిసెంబర్ 22, 1887 నాడు తమిళనాడు రాష్ట్రం లోని ఈరోడ్ పట్టణము నందు ఆయన అమ్మమ్మ ఇంట్లో జన్మించాడు.
రామానుజన్ తండ్రి
కె శ్రీనివాస అయ్యంగార్ ఒక చీరల దుకాణంలో గుమస్తాగా పని చేసేవారు.
ఈయన తంజావూరు జిల్లాకి చెందిన వారు.
తల్లి కోమలటమ్మాళ్ గృహిణి మరియు ఆ ఊరిలోని గుడిలో పాటలు పాడేది.
వీరు కుంబకోణం అనే పట్టణంలో, సారంగపాణి వీధిలో, దక్షిణ భారతదేశ సాంప్రదాయ పద్దతిలో నిర్మించబడ్డ ఒక పెంకుటింట్లో నివాసం ఉండేవారు.
ఇది ఇప్పుడు మ్యూజియంగా మార్చారు.
రామానుజన్ ఒకటిన్నర సంవత్సరాల వయసులో ఉండగా ఆయన తల్లి సదగోపన్ అనే రెండో బిడ్డకు జన్మనిచ్చింది.
కానీ మూడు నెలలు పూర్తవక మునుపే ఆ బిడ్డ కన్నుమూశాడు.
డిసెంబర్ 1889 లో రామానుజన్ కు మశూచి (అమ్మవారు) వ్యాధి సోకింది.
కానీ తంజావూరు జిల్లాలోని ఈ వ్యాధి సోకి మరణించిన చాలామంది లాగా కాకుండా బ్రతికి బయట పడగలిగాడు.
తరువాత రామానుజన్ తల్లితోపాటు చెన్నైకి దగ్గరలో ఉన్న కాంచీపురంలో ఉన్న అమ్మమ్మ వాళ్ళింటికి చేరాడు.
1891లో మళ్ళీ 1894 లో రామానుజన్ తల్లి ఇరువురి శిశువులకు జన్మనిచ్చినా ఏడాది తిరగక మునుపే వారు మరణించడం జరిగింది.
అక్టోబరు 1, 1892లో రామానుజన్ అదే ఊళ్ళో ఉన్న చిన్న పాఠశాలలో విద్యాభ్యాసాన్ని ప్రారంభించాడు.
మార్చి 1894లో ఇతడిని ఒక తెలుగు మాధ్యమ పాఠశాలకు మార్చడం జరిగింది.
రామానుజన్ తాత కాంచీపురం న్యాయస్థానం లోని ఉద్యోగం కోల్పోవడంతో,
రామానుజన్ తల్లితో సహా కుంబకోణం చేరుకుని అక్కడ కంగయాన్ ప్రాథమిక పాఠశాలలో చేరాడు.
నాన్న తరుపు తాత చనిపోవడంతో రామానుజన్ను మళ్ళీ మద్రాసులో నివాసం ఉంటున్న తల్లి తరుపు తాత దగ్గరికి పంపించారు.
కానీ అతనికి మద్రాసులో పాఠశాల నచ్చలేదు.
తరచూ బడికి ఎగనామం పెట్టేవాడు.
అతని తాత, అమ్మమ్మలు రామనుజన్ బడిలో ఉండేటట్లుగా చూసేందుకు వీలుగా ఒక మనిషిని కూడా నియమించారు.
కానీ ఆరు నెలలు కూడా తిరగక మునుపే కుంబకోణం ము పంపించేశారు.
రామానుజన్ తండ్రి రోజంతా పనిలో లీనమవడం మూలంగా చిన్నపుడు అతని బాధ్యతలు తల్లే చూసుకొనేది.
కాబట్టి తల్లితో చాలా గాఢమైన అనురాగం కలిగి ఉండేవాడు.
ఆమె నుంచి రామానుజన్ సాంప్రదాయాల గురించి, కుల వ్యవస్థ గురించి, పురాణాల గురించి తెలుసుకున్నాడు.
భక్తి గీతాలు ఆలపించడం నేర్చుకున్నాడు.
ఆలయాలలో పూజలకు తప్పక హాజరయ్యేవాడు.
మంచి ఆహారపు అలవాట్లు అలవరచుకున్నాడు.
ఒక మంచి బ్రాహ్మణ బాలుడిగా ఉండాలంటే ఈ లక్షణాలన్నీ తప్పని సరి.
కంగయాన్ పాఠశాలలో రామానుజన్ మంచి ప్రతిభ కనపరిచాడు.
నవంబరు 1897 లో పది సంవత్సరాల వయసు లోపలే ఆంగ్లము, తమిళము, భూగోళ శాస్త్రం, గణితం నందు ప్రాథమిక విద్య పూర్తి చేశాడు.
మంచి మార్కులతో జిల్లాలో అందరికన్నా ప్రథముడిగా నిలిచాడు.
1898 లో అతని తల్లి ఆరోగ్యవంతమైన శిశువుకు జన్మనిచ్చింది.
అతడికి లక్ష్మీ నరసింహం అని నామకరణం చేశారు.
అదే సంవత్సరంలో రామానుజన్ హయ్యర్ సెకండరీ పాఠశాలలో చేరాడు.
ఈ పాఠశాలలోనే మొట్ట మొదటి సారిగా గణితశాస్త్రంతో(formal mathematics) పరిచయం ఏర్పడింది.
🔯యవ్వనO
1909, జులై 14వ తేదీన రామానుజన్ కు జానకీ అమ్మాళ్ అనే తొమ్మిదేళ్ళ బాలికతో వివాహమైంది.
పెళ్ళైన తరువాత రామానుజన్ కు వరీబీజం వ్యాధి సోకింది.
ఇది శస్త్ర చికిత్స చేయడం ద్వారా సులభంగా నయమయ్యేదే కానీ వారికి తగినంత ధనం సమకూరక కొద్ది రోజుల పాటు అలానే ఉన్నాడు.
చివరకు 1910, జనవరి నెలలో ఒక వైద్యుడు స్వచ్చందంగా ముందుకు వచ్చి ఉచితంగా శస్త్రచికిత్స చేయడంతో ఆ గండం నుంచి బయటపడ్డాడు.
తరువాత ఉద్యోగ ప్రయత్నాలు ఆరంభించాడు.
CBM🔯
గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే గుర్తింపు
అప్పట్లో కొత్తగా ఒక గణిత శాస్త్ర సమాజాన్ని ఏర్పరిచిన డిప్యూటీ కలెక్టర్ రామస్వామిని రామానుజన్ కలుసుకున్నాడు.
ఆయన పని చేసే ఆఫీసులో ఒక చిన్న ఉద్యోగం కోరి ఆయనకు తాను గణితం మీద రాసు కున్న నోటు పుస్తకాలను చూపించాడు.
వాటిని చూసిన అయ్యర్ తన రచనల్లో ఇలా గుర్తు చేసుకున్నాడు.
ఆ నోటు పుస్తకాలలోని అపారమైన గణిత విజ్ఞానాన్ని చూసి నేను ఆశ్చర్యపోయాను. అంతటి గొప్ప విజ్ఞానికి ఈ చిన్న రెవెన్యూ విభాగంలో ఉద్యోగం ఇచ్చి అవమాన పరచలేను
తరువాత రామస్వామి రామానుజన్ ను కొన్ని పరిచయ లేఖలు రాసి మద్రాసులో తనకు తెలిసిన గణిత శాస్త్రవేత్తల దగ్గరకు పంపించాడు.
అతని పుస్తకాలను చూసిన కొద్ది మంది అప్పట్లో నెల్లూరు జిల్లా కలెక్టరు గా పని చేస్తున్న రామచంద్ర రావు దగ్గరకు పంపించారు.
ఈయన భారతీయ గణిత శాస్త్ర సమాజానికి కార్యదర్శి కూడా.
రామచంద్ర రావు కూడా రామానుజన్ పనితనం చూసి అబ్బురపడి, అవి అతని రచనలేనా అని సందేహం కూడా వచ్చింది.
అప్పుడు రామానుజన్ తాను కలిసిన ఒక బొంబాయి ప్రొఫెసర్ సల్ధానా గురించి, అతని రచనలు ఆ ప్రొఫెసర్ కు కూడా అర్థం కాలేదని చెప్పాడు.
🔯ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్తలతో పరిచయం
నారాయణ అయ్యర్, రామచంద్ర రావు, E.W. మిడిల్‌మాస్ట్ మొదలైన వారు రామానుజన్ పరిశోధనలను ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్తలకు చూపించడానికి ప్రయత్నించారు.
లండన్ యూనివర్సిటీ కాలేజీకి దెందిన ఎం.జే.ఎం. హిల్ అనే గణితజ్ఞుడు రామానుజన్ పరిశోధనల్లో కొన్ని లోపాలున్నాయని వ్యాఖ్యానించాడు.
హిల్ రామానుజన్ ను విద్యార్థిగా స్వీకరించేందుకు అంగీకరించలేదుగానీ, రామానుజన్ పరిశోధనలపై మంచి సలహాలు మాత్రం ఇచ్చారు.
రామానుజన్ పై ఇతర గణిత శాస్త్రవేత్తల అభిప్రాయాలు
రామానుజన్ ఆ కాలంలో సుప్రసిద్దులైన ఆయిలర్, గాస్, జాకోబి మొదలైన సహజసిద్ధమైన గణిత మేధావులతో పోల్చదగిన వాడు.
రామానుజన్ లోని ప్రతిభను గుర్తించి ప్రోత్సహించిన హార్డీ అసలు తను గణిత శాస్త్రానికి చేసిన అత్యుత్తమ సేవ రామానుజాన్ని కనుగొనడమే అని వ్యాఖ్యానించడం విశేషం..
🔯ఇంగ్లండు జీవనO
మార్చి 17, 1914న రామానుజన్ ఇంగ్లండుకు ప్రయాణమయ్యాడు.
శాఖాహారపు అలవాట్లుగల రామానుజన్ ఇంగ్లండులో స్వయంపాకం చేసుకునే వాడు.
సరిగ్గా తినకపోవడం మూలాన,
నిరంతర పరిశోధనల వల్ల కలిగిన శ్రమ వలన,
ప్రతికూల వాతావరణ పరిస్థితుల ప్రభావం వల్ల చాలా తీవ్రమైన పరిశ్రమ చేసి 32 పరిశోధనా పత్రాలు సమర్పించాడు.
శరీరం క్రమంగా వ్యాధిగ్రస్థమైంది.
తీవ్రమైన అనారోగ్యంతో ఉన్నపుడు కూడా హార్డీతో 1729 సంఖ్య యొక్క ప్రత్యేకతను తెలియజెప్పి ఆయన్ను ఆశ్చర్యచకితుణ్ణి చేశాడు.
ఈ సంఘటన గణితంపై ఆయనుకున్న అవ్యాజమైన అనురాగాన్ని, అంకిత భావానికి నిదర్శనం.
ఆరోగ్య పరిస్థితి విషమించడంతో 1919 మార్చిలో భారతదేశానికి తిరిగి వచ్చాడు.
బొద్దుగా, కొంచెం నల్లగా కనిపించే రామానుజన్ ఇంగ్లండు నుంచి పాలిపోయిన అస్థిపంజరం వలే తిరిగి వచ్చిన రామానుజన్ ను చూసి ఆయన అభిమానులు చలించి పోయారు.
అనేక రకాల వైద్య వసతులు కల్పించినా ఆయన కోలుకోలేక పోయారు.
దాంతో ఆయన 1920, ఏప్రిల్ 26న పరమపదించారు.
శుద్ధ గణితంలో నంబర్ థియరీలోని ఇతని పరిశోధనలు, స్ట్రింగ్ థియరీ, క్యాన్సర్ పరిశోధనల వంటి ఆధునిక విషయాలలో ఉపయోగ పడుతూ ఉన్నాయి.
రామానుజన్ చివరిదశలో మ్యాక్-తీటా ఫంక్షన్స్ పై చేసిన పరొశోధనలు చాలా ప్రసిద్ధమైనవి.
ఆయన ప్రతిపాదించిన కొన్ని అంశాలు కొన్ని ఇప్పటికీ అపరిష్కృతం గానే ఉండటం విశేషం.
🔯వ్యక్తిత్వం
రామానుజన్ చాలా సున్నితమైన భావాలు, మంచి పద్దతులు కలిగిన బిడియస్తుడిగా ఉండే వాడు.
ఆయన కేంబ్రిడ్జిలో ఎన్నో కష్టాలను ఎదుర్కొంటూ క్రమశిక్షణ కలిగిన జీవితాన్ని గడిపాడు.
ఆయన జీవిత చరిత్రను రాసిన మొట్టమొదటి రచయిత ఆయన్ను శుద్ధ సాంప్రదాయవాదిగా పేర్కొనడం జరిగింది.
తనకు సంక్రమించిన సామర్థ్యం అంతా తమ ఇలవేల్పు దేవత అయిన నామగిరి ప్రసాదించినదేనని రామానుజన్ బలంగా విశ్వసించేవాడు.
తనకు ఏ కష్టం కలిగినా ఆమె సహాయం కోసం ఎదురు చూసేవాడు.
ఆమె కలలో కన్పించి ఎటువంటి సమస్యకైనా పరిష్కారం చూపించగలదని భావించేవాడు.
భగవంతునిచే ప్రాతినిధ్యం వహించబడని ఏ ఆలోచనా సూత్రం కానేరదు అని అప్పుడప్పుడూ అంటుటేవాడు .
రామానుజన్ అన్ని మతాలు ఒకటిగా నమ్మేవాడని హార్డీ ఒకసారి పేర్కొన్నాడు.
ఆయన ఆధ్యాత్మికతను భారతీయ రచయితలు అతిగా అర్థం చేసుకున్నారని వివరించాడు.
అంతేకాదు, రామానుజన్ యొక్క శుద్ధ శాఖాహారపు అలవాట్లను గురించి కూడా ప్రస్థావించాడు.
🔯గుర్తింపు
రామానుజన్ స్వరాష్ట్రమైన తమిళనాడు, ఆ రాష్ట్ర వాసిగా ఆయన సాధించిన విజయాలకు గుర్తుగా ఆయన జన్మదినమైన డిసెంబర్ 22 ను రాష్ట్ర సాంకేతిక దినోత్సవంగా ప్రకటించింది.
భారత ప్రభుత్వం 1962 వ సంవత్సరంలో ఆయన 75వ జన్మదినం నాడు, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఆయన చేసిన విశేష కృషిని కొనియాడుతూ స్మారక తపాలా బిళ్ళను విడుదల చేసింది.
🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄
శ్రీనివాస రామానుజన్ అయ్యంగార్
(డిసెంబర్ 22, 1887—ఏప్రిల్ 26, 1920)
భారతదేశానికి చెందిన గణిత శాస్త్రవేత్త.
20వ శతాబ్దంలో ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి గాంచిన గొప్ప గణిత మేధావులలో ఒకరు.
రామానుజన్ తమిళనాడు లోని ఈరోడ్ అనే పట్టణంలో పుట్టి పెరిగాడు.
ఇతడికి పది సంవత్సరాల వయసులోనే గణితశాస్త్రం తో అనుభందం ఏర్పడింది.
చిన్న వయసులోనే గణితం పట్ల ప్రకృతి సిద్ధమైన ప్రతిభ కనపరిచేవాడు.
ఆ వయసులోనే ఎస్ ఎల్ లోనీ త్రికోణమితి మీద రాసిన పుస్తకాలను వంటపట్టించుకున్నాడు.
పదమూడు సంవత్సరాలు నిండే సరికల్లా ఆ పుస్తకాన్ని ఔపోసన పట్టడమే కాకుండా తన సొంతంగా సిద్ధాంతాలు కూడా రూపొందించడం ప్రారంభించాడు.
జీవితం
🔯బాల్యం
కుంబకోణంలోని సారంగపాణి వీధిలోని రామానుజం నివసించిన ఇల్లు
రామానుజన్ డిసెంబర్ 22, 1887 నాడు తమిళనాడు రాష్ట్రం లోని ఈరోడ్ పట్టణము నందు ఆయన అమ్మమ్మ ఇంట్లో జన్మించాడు.
రామానుజన్ తండ్రి
కె శ్రీనివాస అయ్యంగార్ ఒక చీరల దుకాణంలో గుమస్తాగా పని చేసేవారు.
ఈయన తంజావూరు జిల్లాకి చెందిన వారు.
తల్లి కోమలటమ్మాళ్ గృహిణి మరియు ఆ ఊరిలోని గుడిలో పాటలు పాడేది.
వీరు కుంబకోణం అనే పట్టణంలో, సారంగపాణి వీధిలో, దక్షిణ భారతదేశ సాంప్రదాయ పద్దతిలో నిర్మించబడ్డ ఒక పెంకుటింట్లో నివాసం ఉండేవారు.
ఇది ఇప్పుడు మ్యూజియంగా మార్చారు.
రామానుజన్ ఒకటిన్నర సంవత్సరాల వయసులో ఉండగా ఆయన తల్లి సదగోపన్ అనే రెండో బిడ్డకు జన్మనిచ్చింది.
కానీ మూడు నెలలు పూర్తవక మునుపే ఆ బిడ్డ కన్నుమూశాడు.
డిసెంబర్ 1889 లో రామానుజన్ కు మశూచి (అమ్మవారు) వ్యాధి సోకింది.
కానీ తంజావూరు జిల్లాలోని ఈ వ్యాధి సోకి మరణించిన చాలామంది లాగా కాకుండా బ్రతికి బయట పడగలిగాడు.
తరువాత రామానుజన్ తల్లితోపాటు చెన్నైకి దగ్గరలో ఉన్న కాంచీపురంలో ఉన్న అమ్మమ్మ వాళ్ళింటికి చేరాడు.
1891లో మళ్ళీ 1894 లో రామానుజన్ తల్లి ఇరువురి శిశువులకు జన్మనిచ్చినా ఏడాది తిరగక మునుపే వారు మరణించడం జరిగింది.
అక్టోబరు 1, 1892లో రామానుజన్ అదే ఊళ్ళో ఉన్న చిన్న పాఠశాలలో విద్యాభ్యాసాన్ని ప్రారంభించాడు.
మార్చి 1894లో ఇతడిని ఒక తెలుగు మాధ్యమ పాఠశాలకు మార్చడం జరిగింది.
రామానుజన్ తాత కాంచీపురం న్యాయస్థానం లోని ఉద్యోగం కోల్పోవడంతో,
రామానుజన్ తల్లితో సహా కుంబకోణం చేరుకుని అక్కడ కంగయాన్ ప్రాథమిక పాఠశాలలో చేరాడు.
నాన్న తరుపు తాత చనిపోవడంతో రామానుజన్ను మళ్ళీ మద్రాసులో నివాసం ఉంటున్న తల్లి తరుపు తాత దగ్గరికి పంపించారు.
కానీ అతనికి మద్రాసులో పాఠశాల నచ్చలేదు.
తరచూ బడికి ఎగనామం పెట్టేవాడు.
అతని తాత, అమ్మమ్మలు రామనుజన్ బడిలో ఉండేటట్లుగా చూసేందుకు వీలుగా ఒక మనిషిని కూడా నియమించారు.
కానీ ఆరు నెలలు కూడా తిరగక మునుపే కుంబకోణం ము పంపించేశారు.
రామానుజన్ తండ్రి రోజంతా పనిలో లీనమవడం మూలంగా చిన్నపుడు అతని బాధ్యతలు తల్లే చూసుకొనేది.
కాబట్టి తల్లితో చాలా గాఢమైన అనురాగం కలిగి ఉండేవాడు.
ఆమె నుంచి రామానుజన్ సాంప్రదాయాల గురించి, కుల వ్యవస్థ గురించి, పురాణాల గురించి తెలుసుకున్నాడు.
భక్తి గీతాలు ఆలపించడం నేర్చుకున్నాడు.
ఆలయాలలో పూజలకు తప్పక హాజరయ్యేవాడు.
మంచి ఆహారపు అలవాట్లు అలవరచుకున్నాడు.
ఒక మంచి బ్రాహ్మణ బాలుడిగా ఉండాలంటే ఈ లక్షణాలన్నీ తప్పని సరి.
కంగయాన్ పాఠశాలలో రామానుజన్ మంచి ప్రతిభ కనపరిచాడు.
నవంబరు 1897 లో పది సంవత్సరాల వయసు లోపలే ఆంగ్లము, తమిళము, భూగోళ శాస్త్రం, గణితం నందు ప్రాథమిక విద్య పూర్తి చేశాడు.
మంచి మార్కులతో జిల్లాలో అందరికన్నా ప్రథముడిగా నిలిచాడు.
1898 లో అతని తల్లి ఆరోగ్యవంతమైన శిశువుకు జన్మనిచ్చింది.
అతడికి లక్ష్మీ నరసింహం అని నామకరణం చేశారు.
అదే సంవత్సరంలో రామానుజన్ హయ్యర్ సెకండరీ పాఠశాలలో చేరాడు.
ఈ పాఠశాలలోనే మొట్ట మొదటి సారిగా గణితశాస్త్రంతో(formal mathematics) పరిచయం ఏర్పడింది.
🔯యవ్వనO
1909, జులై 14వ తేదీన రామానుజన్ కు జానకీ అమ్మాళ్ అనే తొమ్మిదేళ్ళ బాలికతో వివాహమైంది.
పెళ్ళైన తరువాత రామానుజన్ కు వరీబీజం వ్యాధి సోకింది.
ఇది శస్త్ర చికిత్స చేయడం ద్వారా సులభంగా నయమయ్యేదే కానీ వారికి తగినంత ధనం సమకూరక కొద్ది రోజుల పాటు అలానే ఉన్నాడు.
చివరకు 1910, జనవరి నెలలో ఒక వైద్యుడు స్వచ్చందంగా ముందుకు వచ్చి ఉచితంగా శస్త్రచికిత్స చేయడంతో ఆ గండం నుంచి బయటపడ్డాడు.
తరువాత ఉద్యోగ ప్రయత్నాలు ఆరంభించాడు.
CBM🔯
గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే గుర్తింపు
అప్పట్లో కొత్తగా ఒక గణిత శాస్త్ర సమాజాన్ని ఏర్పరిచిన డిప్యూటీ కలెక్టర్ రామస్వామిని రామానుజన్ కలుసుకున్నాడు.
ఆయన పని చేసే ఆఫీసులో ఒక చిన్న ఉద్యోగం కోరి ఆయనకు తాను గణితం మీద రాసు కున్న నోటు పుస్తకాలను చూపించాడు.
వాటిని చూసిన అయ్యర్ తన రచనల్లో ఇలా గుర్తు చేసుకున్నాడు.
ఆ నోటు పుస్తకాలలోని అపారమైన గణిత విజ్ఞానాన్ని చూసి నేను ఆశ్చర్యపోయాను. అంతటి గొప్ప విజ్ఞానికి ఈ చిన్న రెవెన్యూ విభాగంలో ఉద్యోగం ఇచ్చి అవమాన పరచలేను
తరువాత రామస్వామి రామానుజన్ ను కొన్ని పరిచయ లేఖలు రాసి మద్రాసులో తనకు తెలిసిన గణిత శాస్త్రవేత్తల దగ్గరకు పంపించాడు.
అతని పుస్తకాలను చూసిన కొద్ది మంది అప్పట్లో నెల్లూరు జిల్లా కలెక్టరు గా పని చేస్తున్న రామచంద్ర రావు దగ్గరకు పంపించారు.
ఈయన భారతీయ గణిత శాస్త్ర సమాజానికి కార్యదర్శి కూడా.
రామచంద్ర రావు కూడా రామానుజన్ పనితనం చూసి అబ్బురపడి, అవి అతని రచనలేనా అని సందేహం కూడా వచ్చింది.
అప్పుడు రామానుజన్ తాను కలిసిన ఒక బొంబాయి ప్రొఫెసర్ సల్ధానా గురించి, అతని రచనలు ఆ ప్రొఫెసర్ కు కూడా అర్థం కాలేదని చెప్పాడు.
🔯ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్తలతో పరిచయం
నారాయణ అయ్యర్, రామచంద్ర రావు, E.W. మిడిల్‌మాస్ట్ మొదలైన వారు రామానుజన్ పరిశోధనలను ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్తలకు చూపించడానికి ప్రయత్నించారు.
లండన్ యూనివర్సిటీ కాలేజీకి దెందిన ఎం.జే.ఎం. హిల్ అనే గణితజ్ఞుడు రామానుజన్ పరిశోధనల్లో కొన్ని లోపాలున్నాయని వ్యాఖ్యానించాడు.
హిల్ రామానుజన్ ను విద్యార్థిగా స్వీకరించేందుకు అంగీకరించలేదుగానీ, రామానుజన్ పరిశోధనలపై మంచి సలహాలు మాత్రం ఇచ్చారు.
రామానుజన్ పై ఇతర గణిత శాస్త్రవేత్తల అభిప్రాయాలు
రామానుజన్ ఆ కాలంలో సుప్రసిద్దులైన ఆయిలర్, గాస్, జాకోబి మొదలైన సహజసిద్ధమైన గణిత మేధావులతో పోల్చదగిన వాడు.
రామానుజన్ లోని ప్రతిభను గుర్తించి ప్రోత్సహించిన హార్డీ అసలు తను గణిత శాస్త్రానికి చేసిన అత్యుత్తమ సేవ రామానుజాన్ని కనుగొనడమే అని వ్యాఖ్యానించడం విశేషం..
🔯ఇంగ్లండు జీవనO
మార్చి 17, 1914న రామానుజన్ ఇంగ్లండుకు ప్రయాణమయ్యాడు.
శాఖాహారపు అలవాట్లుగల రామానుజన్ ఇంగ్లండులో స్వయంపాకం చేసుకునే వాడు.
సరిగ్గా తినకపోవడం మూలాన,
నిరంతర పరిశోధనల వల్ల కలిగిన శ్రమ వలన,
ప్రతికూల వాతావరణ పరిస్థితుల ప్రభావం వల్ల చాలా తీవ్రమైన పరిశ్రమ చేసి 32 పరిశోధనా పత్రాలు సమర్పించాడు.
శరీరం క్రమంగా వ్యాధిగ్రస్థమైంది.
తీవ్రమైన అనారోగ్యంతో ఉన్నపుడు కూడా హార్డీతో 1729 సంఖ్య యొక్క ప్రత్యేకతను తెలియజెప్పి ఆయన్ను ఆశ్చర్యచకితుణ్ణి చేశాడు.
ఈ సంఘటన గణితంపై ఆయనుకున్న అవ్యాజమైన అనురాగాన్ని, అంకిత భావానికి నిదర్శనం.
ఆరోగ్య పరిస్థితి విషమించడంతో 1919 మార్చిలో భారతదేశానికి తిరిగి వచ్చాడు.
బొద్దుగా, కొంచెం నల్లగా కనిపించే రామానుజన్ ఇంగ్లండు నుంచి పాలిపోయిన అస్థిపంజరం వలే తిరిగి వచ్చిన రామానుజన్ ను చూసి ఆయన అభిమానులు చలించి పోయారు.
అనేక రకాల వైద్య వసతులు కల్పించినా ఆయన కోలుకోలేక పోయారు.
దాంతో ఆయన 1920, ఏప్రిల్ 26న పరమపదించారు.
శుద్ధ గణితంలో నంబర్ థియరీలోని ఇతని పరిశోధనలు, స్ట్రింగ్ థియరీ, క్యాన్సర్ పరిశోధనల వంటి ఆధునిక విషయాలలో ఉపయోగ పడుతూ ఉన్నాయి.
రామానుజన్ చివరిదశలో మ్యాక్-తీటా ఫంక్షన్స్ పై చేసిన పరొశోధనలు చాలా ప్రసిద్ధమైనవి.
ఆయన ప్రతిపాదించిన కొన్ని అంశాలు కొన్ని ఇప్పటికీ అపరిష్కృతం గానే ఉండటం విశేషం.
🔯వ్యక్తిత్వం
రామానుజన్ చాలా సున్నితమైన భావాలు, మంచి పద్దతులు కలిగిన బిడియస్తుడిగా ఉండే వాడు.
ఆయన కేంబ్రిడ్జిలో ఎన్నో కష్టాలను ఎదుర్కొంటూ క్రమశిక్షణ కలిగిన జీవితాన్ని గడిపాడు.
ఆయన జీవిత చరిత్రను రాసిన మొట్టమొదటి రచయిత ఆయన్ను శుద్ధ సాంప్రదాయవాదిగా పేర్కొనడం జరిగింది.
తనకు సంక్రమించిన సామర్థ్యం అంతా తమ ఇలవేల్పు దేవత అయిన నామగిరి ప్రసాదించినదేనని రామానుజన్ బలంగా విశ్వసించేవాడు.
తనకు ఏ కష్టం కలిగినా ఆమె సహాయం కోసం ఎదురు చూసేవాడు.
ఆమె కలలో కన్పించి ఎటువంటి సమస్యకైనా పరిష్కారం చూపించగలదని భావించేవాడు.
భగవంతునిచే ప్రాతినిధ్యం వహించబడని ఏ ఆలోచనా సూత్రం కానేరదు అని అప్పుడప్పుడూ అంటుటేవాడు .
రామానుజన్ అన్ని మతాలు ఒకటిగా నమ్మేవాడని హార్డీ ఒకసారి పేర్కొన్నాడు.
ఆయన ఆధ్యాత్మికతను భారతీయ రచయితలు అతిగా అర్థం చేసుకున్నారని వివరించాడు.
అంతేకాదు, రామానుజన్ యొక్క శుద్ధ శాఖాహారపు అలవాట్లను గురించి కూడా ప్రస్థావించాడు.
🔯గుర్తింపు
రామానుజన్ స్వరాష్ట్రమైన తమిళనాడు, ఆ రాష్ట్ర వాసిగా ఆయన సాధించిన విజయాలకు గుర్తుగా ఆయన జన్మదినమైన డిసెంబర్ 22 ను రాష్ట్ర సాంకేతిక దినోత్సవంగా ప్రకటించింది.
భారత ప్రభుత్వం 1962 వ సంవత్సరంలో ఆయన 75వ జన్మదినం నాడు, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఆయన చేసిన విశేష కృషిని కొనియాడుతూ స్మారక తపాలా బిళ్ళను విడుదల చేసింది.
🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄
Friday, October 23, 2015
Types of Symmetry
Types of Symmetry
We will learn about all types of
symmetry of various shapes in geometry. The explanation will help us to
understand the different types of symmetrical shapes which possess or
does not possess linear symmetry, point symmetry and rotational
symmetry.
Name and draw the shape which possesses linear symmetry, point symmetry and rotational symmetry?
1. Line segment:
(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry i.e. perpendicular bisector of PQ
(ii) Point symmetry possesses point symmetry mid-point O of line segment PQ
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 2 about O.
2. Rectangle:
(i) Linear symmetry possesses 2 lines of symmetry. Line joins the mid-point of 2 parallel sides.
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection of diagonals as the centre of symmetry.
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 2.
3. Rhombus:
(i) Linear symmetry possesses 2 lines of symmetry i.e. 2 diagonals of the rhombus
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection of diagonals as the center of symmetry.
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 2.
4. Square:
(i) Linear symmetry possesses 4 lines of symmetry, 2 diagonals and 2 lines joining the mid-point of opposite sides.
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection of diagonal.
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 4.
5. Circle:
(i) Linear symmetry possesses infinite lines of symmetry of order 4
(ii) Point symmetry possesses point symmetry about the center O
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of an infinite order
2. Name and draw the shape which possesses linear symmetry but no point symmetry and rotational symmetry?
2. Name and draw the shape which possesses linear symmetry but no point symmetry and rotational symmetry?
1. An angle:
(i) Linear symmetry possesses
1 line of symmetry i.e. angle bisector
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry
2. An isosceles
triangle:
(i) Linear symmetry possesses
1 line of symmetry i.e. perpendicular bisector l.
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry
3. Semi-circle:
(i) Linear symmetry possesses
1 line of symmetry i.e. perpendicular bisector of the diameter XY
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry
4. Kite:
(i) Linear symmetry possesses
1 line of symmetry i.e. diagonal QS
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry
5. Isosceles
trapezium:
(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry. Line XY
joins the mid-point of 2 parallel sides.
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry
3. Name and draw the shape which
possesses linear symmetry and rotational symmetry but no point symmetry?
Equilateral triangle:
(i) Linear symmetry possesses 3 lines of symmetry i.e. the 3
medians of the triangle.
(ii) No point symmetry
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of
order 3.
4. Name and draw the shape which
does not possess linear symmetry, point symmetry and rotational symmetry?
Scalene triangle:
(i) No linear symmetry
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry
5. Name and draw the shape which
does not possess linear symmetry but possesses point symmetry and rotational
symmetry?
Parallelogram:
(i) Linear symmetry: No
linear symmetry
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of
intersection oTuesday, October 6, 2015
Four-day school week can improve academic performance, study finds
Shortening the school week to four days has a
positive impact on elementary school students' academic performance in
mathematics, according to researchers at Georgia State University and
Montana State University.
The study, published in the journal Education, Finance and Policy
in July, analyzed the impact of a four-day school week on student
achievement by comparing fourth-grade reading and fifth-grade math test
scores from the Colorado Student Assessment Program (CSAP) for students
who participated in a four-day school week, versus those who attended a
traditional five-day school week.
The researchers found a four-day school week had a statistically significant impact on math scores for fifth-grade students, while reading scores were not affected.
The study suggests there is little evidence that moving to a four-day week compromises student academic achievement, an important finding for U.S. school districts seeking ways to cut costs without hampering student achievement.
"What interested me about our results is they were completely opposite to what we anticipated," said Mary Beth Walker, dean of the Andrew Young School of Policy Studies at Georgia State. "We thought that especially for the younger, elementary school kids, longer days on a shorter school week would hurt their academic performance because their attention spans are shorter. Also, a longer weekend would give them more opportunity to forget what they had learned."
Although the shortened school week did not have a measurable impact on reading outcomes, "the idea that the change in the calendar did not have negative effects we thought was an important result," Walker said.
A number of school districts in the United States have moved from the traditional Monday through Friday schedule to a four-day week schedule as a cost-saving measure to reduce overhead and transportation costs.
Four-day weeks have been in place for years in rural school districts in western states, particularly in Colorado, New Mexico and Wyoming. Over one-third of the school districts in Colorado have adopted a four-day schedule. The alternative schedule has also been considered in school districts in Oregon, Missouri, Florida and Georgia.
The four-day school week requires school districts to lengthen the school day to meet minimum instructional hour requirements. Previously, there was a lack of information on whether the four-day school week affects student performance, Walker said.
The researchers have speculated on why the shortened school week positively affected students but there are not enough data to draw definite conclusions.
"We thought the longer days might give teachers an opportunity to use different kinds of instructional processes," Walker said. "We also speculated that a four-day school week lowered absenteeism, so students who had dentist's appointments or events might be able to put those off until Friday and not miss school. We thought there might be less teacher absenteeism.
"My own personal hypothesis is teachers liked it so much--they were so enthusiastic about the four-day week--they did a better job. There's some evidence in other labor studies that four-day work weeks enhance productivity."
Walker notes the results are only applicable to smaller and more rural school districts. Further studies should be performed to understand the effects on urban school districts, she said.
The researchers found a four-day school week had a statistically significant impact on math scores for fifth-grade students, while reading scores were not affected.
The study suggests there is little evidence that moving to a four-day week compromises student academic achievement, an important finding for U.S. school districts seeking ways to cut costs without hampering student achievement.
"What interested me about our results is they were completely opposite to what we anticipated," said Mary Beth Walker, dean of the Andrew Young School of Policy Studies at Georgia State. "We thought that especially for the younger, elementary school kids, longer days on a shorter school week would hurt their academic performance because their attention spans are shorter. Also, a longer weekend would give them more opportunity to forget what they had learned."
Although the shortened school week did not have a measurable impact on reading outcomes, "the idea that the change in the calendar did not have negative effects we thought was an important result," Walker said.
A number of school districts in the United States have moved from the traditional Monday through Friday schedule to a four-day week schedule as a cost-saving measure to reduce overhead and transportation costs.
Four-day weeks have been in place for years in rural school districts in western states, particularly in Colorado, New Mexico and Wyoming. Over one-third of the school districts in Colorado have adopted a four-day schedule. The alternative schedule has also been considered in school districts in Oregon, Missouri, Florida and Georgia.
The four-day school week requires school districts to lengthen the school day to meet minimum instructional hour requirements. Previously, there was a lack of information on whether the four-day school week affects student performance, Walker said.
The researchers have speculated on why the shortened school week positively affected students but there are not enough data to draw definite conclusions.
"We thought the longer days might give teachers an opportunity to use different kinds of instructional processes," Walker said. "We also speculated that a four-day school week lowered absenteeism, so students who had dentist's appointments or events might be able to put those off until Friday and not miss school. We thought there might be less teacher absenteeism.
"My own personal hypothesis is teachers liked it so much--they were so enthusiastic about the four-day week--they did a better job. There's some evidence in other labor studies that four-day work weeks enhance productivity."
Walker notes the results are only applicable to smaller and more rural school districts. Further studies should be performed to understand the effects on urban school districts, she said.
Story Source:
The above post is reprinted from materials provided by Georgia State University. Note: Materials may be edited for content and length.
The above post is reprinted from materials provided by Georgia State University. Note: Materials may be edited for content and length.
Journal Reference:
D. Mark Anderson, Mary Beth Walker. Does Shortening the School Week Impact Student Performance? Evidence from the Four-Day School Week. Education Finance and Policy, 2015; 10 (3): 314 DOI: 10.1162/EDFP_a_00165#.Vd3cGGA7_Js.
Friday, September 25, 2015
Monday, September 14, 2015
MATHS Before 1000 BC
MATHS Before 1000 BC
- ca. 70,000 BC — South Africa, ochre rocks adorned with scratched geometric patterns.[1]
- ca. 35,000 BC to 20,000 BC — Africa and France, earliest known prehistoric attempts to quantify time.[2][3][4]
- c. 20,000 BC — Nile Valley, Ishango Bone: possibly the earliest reference to prime numbers and Egyptian multiplication.
- c. 3400 BC — Mesopotamia, the Sumerians invent the first numeral system, and a system of weights and measures.
- c. 3100 BC — Egypt, earliest known decimal system allows indefinite counting by way of introducing new symbols.[5]
- c. 2800 BC — Indus Valley Civilization on the Indian subcontinent, earliest use of decimal ratios in a uniform system of ancient weights and measures, the smallest unit of measurement used is 1.704 millimetres and the smallest unit of mass used is 28 grams.
- 2700 BC — Egypt, precision surveying.
- 2400 BC — Egypt, precise astronomical calendar, used even in the Middle Ages for its mathematical regularity.
- c. 2000 BC — Mesopotamia, the Babylonians use a base-60 positional numeral system, and compute the first known approximate value of π at 3.125.
- c. 2000 BC — Scotland, Carved Stone Balls exhibit a variety of symmetries including all of the symmetries of Platonic solids.
- 1800 BC — Egypt, Moscow Mathematical Papyrus, findings volume of a frustum.
- c. 1800 BC — Berlin Papyrus 6619 (Egypt, 19th dynasty) contains a quadratic equation and its solution.[5]
- 1650 BC — Rhind Mathematical Papyrus, copy of a lost scroll from around 1850 BC, the scribe Ahmes presents one of the first known approximate values of π at 3.16, the first attempt at squaring the circle, earliest known use of a sort of cotangent, and knowledge of solving first order linear equations.
- 1046 BC to 256 BC — China, Chou Pei Suan Ching, arithmetic and geometric algorithms and proofs.
Subscribe to:
Posts (Atom)