Search This Blog

Loading...

Friday, July 22, 2016

22 Jul Pi Approximation Day

*22 జూలై పై “π” సామీప్య దినోత్సవము (22 Jul Pi Approximation Day)*

గణిత శాస్త్రం‌లో వృత్తానికీ,దాని వ్యాసమునకు గల నిష్పత్తిని గ్రీకు అక్షరమైన π తో సూచిస్తారు.

మానవ నాగరితతో పాటుగా “π” (22/7) భావనకు సమాంతర చరిత్ర ఉంది. గణిత శాస్త్ర అధ్యయనం ప్రారంభమైననాటినుండి నేటివరకు, రేపటి తరాలలోకూడా శాస్త్రవేత్తలనూ, గణితాధ్యాయిలనూ, ఉపాధ్యాయులనూ ఈసంఖ్య అబ్బురపరుస్తూనే ఉంటుంది. రేఖా గణితం, త్రికోణమితి శాస్త్రాలలో ఈ భావన సర్వాంతర్యామి. ఈభావన స్పృజించకుండా ఏ అనువర్తిత శాస్త్రమూ (applied science) మనజాలలేదనడం అతిశయోక్తి కాదు. π విలువ ఒక కరణీయ సంఖ్య (దశాంశం తదుపరి శేషము 0 అంటె శూన్యము రాకుండా, ఒకే అంకె పునరావృతం కాకుండా, అంకెలపరంపర- అనంతంగా- కొనసాగుతూనే ఉంటుంది).

భారత గణితవేత్తలు వేదాంగాలలోనూ, సులభసూత్రాలలోనూ దీన్ని చర్చించి, విలువను గణించారు. ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత దాని వ్యాసానికి మూడింతల పొడుగుంటుందని లెక్కించారు. మహాభారత భీష్మపర్వం‌లో (XII: 44) 3 గా సూచించారు.

సులభ సూత్రాలు, మానవ సులభ సూత్రాలు, జైనులు, తదనంతరం వరాహమిహిరుడు, బ్రహ్మగుప్తుడు, శ్రీధరుడు సైతం ఈ విషయాన్ని చర్చించారు. ఆర్యభట్ట (క్రీ. శ. 476) తో భారతీయ గణిత శాస్త్రం‌లో నూతన అధ్యాయం ప్రారంభమైంది. ఆర్య భట్ట దీనిని 62832/20000 = 3.1416 గా గణించాడు. నాలుగు దశాంశాలవరకూ ఈ విలువ ఖగోళ శాస్త్రం‌లో ఖచ్చితంగా సరిపొయింది. ఈ భావననూ, విలువనూ తదనంతరం చైనీయులూ, అరబ్బులూ స్వీకరించారు. తదుపరి కేరళ రాష్ట్రానికి చెందిన సంగ్రామ మాధవుడు దీని విలువను పదకొండు దశాంశాలవరకు లెక్కించాడు. π విలువను గణిత శాస్త్రవేత్తలు నాలుగు దశాంశాలలో 3.1415 గా నిర్ధారించారు.

*బ్రిటష్‌వారు తేదీ. నెల. సంవత్సరం రూపం‌లొ (Date format)  22/7 (జులై) తేదీన  π దినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తే*  , *అమెరికన్లు నెల.తేదీ. సంవత్సరం రూపం‌లొ (Date format)  మార్చి 14 వ తేదీన (π =3.14) π దినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తారు.*  π విలువ నాలుగు దశాంశాలవరకు 3.1415 కావడంవల్ల 2015 సం.  మార్చ్ నెల 14 వతేదీని అమెరికన్లు సూపర్ π దినోత్సవంగా జరుపుకున్నారు. తిరిగి సూపర్ π దినోత్సవం శతాబ్దం తర్వాత అంటే  2115లో సంభవిస్తుంది.

Π దినోత్సవం గురించి మరిన్ని విశేషాలు తెల్సుకుందాం.

• గణీతవేత్తలు 22/7 ఫలితాన్ని అరవైనాలుగుకోట్ల దశాంశంవరకు లెక్కించారు. విచిత్రం, ఒక్కసారంటే ఒక్కసారికూడా 123456లు వరుసగా రాలేదు.
• గ్రీకువర్ణమాలలో π స్థానం 16 అలాగే ఆంగ్లవర్ణమాలలోనూ  p అక్షర స్థానం 16యే.
• మరో విచిత్రమైన సారూప్యం. విశ్వ విఖ్యాత భౌతికశాస్త్రవేత్త ఆల్బర్ట్ ఐన్‌స్టీన్, నిత్య సత్యాగ్రహి ఇరోమ్ షర్మిల (మణిపూర్) జన్మించింది కూడా మార్చి నెల 14 వ తేదీన. ఐన్‌స్టీన్ ప్రవచించిన పరమాణు శక్తికి సూత్రం E=mc2 అర్ధంచేసుకోవడానికి బుర్ర బద్దలుకొట్టుకోవాల్సివస్తుంది. బుర్రబద్దలుకొట్టుకున్నా π విలువను కనుక్కోవడం అసంభవం. మ‌ణిపూర్‌లో మానవహక్కుల ప్రతిష్టాపన జరిగేదాకా ఈరోమ్ షర్మిలకూడా అంతులేని పోరాటం చేస్తానంటూంది.
• Π విలువను అరవైనాలుగుకోట్ల దశాంశాలవరకు పరిష్కరించారు. ఈసంఖ్యను  ఏకబిగిన చదవడానికి 133 సంవత్సరాల కాలం పడుతుంది. అంటే మళ్ళీవచ్చే సూపర్ π దినోత్సవం (2115) వరకు కూడా చదవడం  పూర్తికాదు.
• వృత్తానికి మూలలు లేవనిచెబుతారు. నిజానికి వృత్తపు చుట్టుకొలతలోగల కోణాలు అనంతం, దానిలోని దశాంశాల మాదిరిగానే.
• 14 మార్చినుండి 22 జులై వరకు (రెండుతేదీలను కలిపి) 131 రోజులు. ఐక్యూ 131 గాఉన్నవారిని అత్యంత మేధోసంపత్తిగలవారిగా పరిగణిస్తారు. నిజం, π విలువను పరిష్కరించినవారు నిక్కంగా అత్యంత మేధావియే.
• ఇంకా 131 ఒక ప్రధాన సంఖ్య.
• Π (పై) లోనికి వెళ్ళి చూస్తే భీకర భీతావహంగా ఉందికదూ!!!


π దినోత్సవాలలో ప్రాచీనభారతం‌లోనూ నాటిసమకాలీన నాగరికతలలోనూ గణిత శాస్త్రం‌లో జరిగిన అభివృధ్దిని చర్చించి వ్యాసరచన, వక్తృత్వపోటీలు నిర్వహించవచ్చు. నిర్దిష్ట సమయంలో దీని విలువను ఎన్ని దశాంశం‌లవరకు సాధించగలరో పోటీనిర్వహించి చిన్న చిన్న బహుమతులు ఇవ్వవచ్చు. గణితం పట్ల ఆసక్తిపెంచడానికి ఈ తేదీని వేదిక చేసుకోవడం ఉపయుక్తం.
J N SWAMY

Thursday, February 4, 2016

Theorems and Postulates for Geometry

Theorems and Postulates for Geometry
This is a partial listing of the more popular theorems, postulates and properties
needed when working with Euclidean proofs.  You need to have a thorough understanding of these items.
General:
Reflexive PropertyA quantity is congruent (equal) to itself.  a = a 
Symmetric PropertyIf a = b, then b = a.
Transitive PropertyIf a = b and b = c, then a = c.
Addition PostulateIf equal quantities are added to equal quantities, the sums are equal.
Subtraction PostulateIf equal quantities are subtracted from equal quantities, the differences are equal.
Multiplication PostulateIf equal quantities are multiplied by equal quantities, the products are equal.  (also Doubles of equal quantities are equal.)
Division PostulateIf equal quantities are divided by equal nonzero quantities, the quotients are equal. (also Halves of equal quantities are equal.)
Substitution PostulateA quantity may be substituted for its equal in any expression.
Partition PostulateThe whole is equal to the sum of its parts.
Also:  Betweeness of Points:  AB + BC = AC
Angle Addition Postulate:  m<ABC + m<CBD = m<ABD
ConstructionTwo points determine a straight line.
ConstructionFrom a given point on (or not on) a line, one and only one perpendicular can be drawn to the line.
Angles:
Right AnglesAll right angles are congruent.
Straight AnglesAll straight angles are congruent.
Congruent SupplementsSupplements of the same angle, or congruent angles, are congruent.
Congruent ComplementsComplements of the same angle, or congruent angles, are congruent. 
Linear PairIf two angles form a linear pair, they are supplementary.
Vertical AnglesVertical angles are congruent.
Triangle SumThe sum of the interior angles of a triangle is 180º.
Exterior AngleThe measure of an exterior angle of a triangle is equal to the sum of the measures of the two non-adjacent interior angles.
The measure of an exterior angle of a triangle is greater than either non-adjacent interior angle.
Base Angle Theorem(Isosceles Triangle)If two sides of a triangle are congruent, the angles opposite these sides are congruent.
Base Angle Converse(Isosceles Triangle)If two angles of a triangle are congruent, the sides opposite these angles are congruent.
Triangles:
Side-Side-Side (SSS) CongruenceIf three sides of one triangle are congruent to three sides of  another triangle, then the triangles are congruent.
Side-Angle-Side (SAS) CongruenceIf two sides and the included angle of one triangle are congruent to the corresponding parts of another triangle, the triangles are congruent.
Angle-Side-Angle (ASA) CongruenceIf two angles and the included side of one triangle are congruent to the corresponding parts of another triangle, the triangles are congruent.
Angle-Angle-Side (AAS) CongruenceIf two angles and the non-included side of one triangle are congruent to the corresponding parts of another triangle, the triangles are congruent.
Hypotenuse-Leg (HL) Congruence (right triangle)If the hypotenuse and leg of one right triangle are congruent to the corresponding parts of another right triangle, the two right triangles are congruent.
CPCTCCorresponding parts of congruent triangles are congruent.
Angle-Angle (AA) SimilarityIf two angles of one triangle are congruent to two angles of another triangle, the triangles are similar.
SSS for SimilarityIf the three sets of corresponding sides of two triangles are in proportion, the triangles are similar.
SAS for SimilarityIf an angle of one triangle is congruent to the corresponding angle of another triangle and the lengths of the sides including these angles are in proportion, the triangles are similar.
Side ProportionalityIf two triangles are similar, the corresponding sides are in proportion.
Mid-segment Theorem(also called mid-line)The segment connecting the midpoints of two sides of a triangle isparallel to the third side and is half as long.
Sum of Two Sides
The sum of the lengths of any two sides of a triangle must be greater than the third side
Longest SideIn a triangle, the longest side is across from the largest angle.
In a triangle, the largest angle is across from the longest side.
Altitude RuleThe altitude to the hypotenuse of a right triangle is the mean proportional between the segments into which it divides the hypotenuse. 
Leg RuleEach leg of a right triangle is the mean proportional between the hypotenuse and the projection of the leg on the hypotenuse.
Parallels:
Corresponding AnglesIf two parallel lines are cut by a transversal, then the pairs of corresponding angles are congruent.
Corresponding Angles ConverseIf two lines are cut by a transversal and the corresponding angles are congruent, the lines are parallel.
Alternate Interior Angles
 
If two parallel lines are cut by a transversal, then the alternate interior angles are congruent.
Alternate Exterior AnglesIf two parallel lines are cut by a transversal, then the alternate exterior angles are congruent.
Interiors on Same SideIf two parallel lines are cut by a transversal, the interior angles on the same side of the transversal are supplementary.
Alternate Interior Angles
Converse
If two lines are cut by a transversal and the alternate interior angles are congruent, the lines are parallel.
Alternate Exterior Angles
Converse
If two lines are cut by a transversal and the alternate exterior angles are congruent, the lines are parallel.
Interiors on Same Side ConverseIf two lines are cut by a transversal and the interior angles on the same side of the transversal are supplementary, the lines areparallel.
Quadrilaterals:
Parallelograms


About Sides
 
* If a quadrilateral is a parallelogram, the opposite
   sides are parallel.
* If a quadrilateral is a parallelogram, the opposite
   sides are congruent.
About Angles* If a quadrilateral is a parallelogram, the opposite
   angles are congruent.
If a quadrilateral is a parallelogram, the
   consecutive angles are supplementary.
About DiagonalsIf a quadrilateral is a parallelogram, the diagonals
   bisect each other.
* If a quadrilateral is a parallelogram, the diagonals
   form two congruent triangles.
Parallelogram Converses




About Sides
If both pairs of opposite sides of a quadrilateral
   are parallel, the quadrilateral is a parallelogram.
* If both pairs of opposite sides of a quadrilateral
   are congruent, the quadrilateral is a
   parallelogram.
About Angles* If both pairs of opposite angles of a quadrilateral
   are congruent, the quadrilateral is a
   parallelogram.
* If the consecutive angles of a quadrilateral are
 supplementary, the quadrilateral is a parallelogram.
About DiagonalsIf the diagonals of a quadrilateral bisect each
   other, the quadrilateral is a
   parallelogram.
* If the diagonals of a quadrilateral form two
   congruent triangles, the quadrilateral is a
   parallelogram.
ParallelogramIf one pair of sides of a quadrilateral is BOTH parallel and congruent, the quadrilateral is a parallelogram.
RectangleIf a parallelogram has one right angle it is a rectangle
A parallelogram is a rectangle if and only if its diagonals are congruent.
A rectangle is a parallelogram with four right angles.
RhombusA rhombus is a parallelogram with four congruent sides.
If a parallelogram has two consecutive sides congruent, it is a rhombus.
A parallelogram is a rhombus if and only if each diagonal bisects a pair of opposite angles.
A parallelogram is a rhombus if and only if the diagonals are perpendicular.
SquareA square is a parallelogram with four congruent sides and four right angles.
A quadrilateral is a square if and only if it is a rhombus and a rectangle.
TrapezoidA trapezoid is a quadrilateral with exactly one pair of parallel sides.
Isosceles TrapezoidAn isosceles trapezoid is a trapezoid with congruent legs.
A trapezoid is isosceles if and only if the base angles are congruent
A trapezoid is isosceles if and only if the diagonals are congruent
If a trapezoid is isosceles, the opposite angles are supplementary.
Circles:
RadiusIn a circle, a radius perpendicular to a chord bisects the chord and the arc.
In a circle, a radius that bisects a chord is perpendicular to the chord.
In a circle, the perpendicular bisector of a chord passes through the center of the circle.
If a line is tangent to a circle, it is perpendicular to the radius drawn to the point of tangency.
Chords
In a circle, or congruent circles, congruent chords are equidistant from the center. (and converse)
In a circle, or congruent circles, congruent chords have congruent arcs. (and converse0
In a circle, parallel chords intercept congruent arcs
In the same circle, or congruent circles, congruent central angles have congruent chords (and converse)
TangentsTangent segments to a circle from the same external point are congruent
ArcsIn the same circle, or congruent circles, congruent central angles have congruent arcs. (and converse)
AnglesAn angle inscribed in a semi-circle is a right angle.
In a circle, inscribed angles that intercept the same arc are congruent.
The opposite angles in a cyclic quadrilateral are supplementary
In a circle, or congruent circles, congruent central angles have congruent arcs.

Thursday, January 28, 2016

ISOMETRIC GRAPH REPRESENTATION

Isometric projection

Some 3D shapes using the isometric drawing method. The black dimensions are the true lengths as found in an orthographic projection. The red dimensions are used when drawing with the isometric drawing method. The same 3D shapes drawn in isometric projection would appear smaller; an isometric projection will show the object's sides foreshortened, by approximately 80%.
Isometric projection is a method for visually representing three-dimensional objects in two dimensions in technical andengineering drawings. It is an axonometric projection in which the three coordinate axes appear equally foreshortened and the angle between any two of them is 120 degrees.

Monday, December 21, 2015

Indian Maths Legend Srinivasarao Ramanujan

🎄🎍🎄

శ్రీనివాస రామానుజన్ అయ్యంగార్

 (డిసెంబర్ 22, 1887—ఏప్రిల్ 26, 1920)

భారతదేశానికి చెందిన గణిత శాస్త్రవేత్త.
20వ శతాబ్దంలో ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి గాంచిన గొప్ప గణిత మేధావులలో ఒకరు.

రామానుజన్ తమిళనాడు లోని ఈరోడ్ అనే పట్టణంలో పుట్టి పెరిగాడు.
 ఇతడికి పది సంవత్సరాల వయసులోనే గణితశాస్త్రం తో అనుభందం ఏర్పడింది.
చిన్న వయసులోనే గణితం పట్ల ప్రకృతి సిద్ధమైన ప్రతిభ కనపరిచేవాడు.
 ఆ వయసులోనే ఎస్ ఎల్ లోనీ త్రికోణమితి మీద రాసిన పుస్తకాలను వంటపట్టించుకున్నాడు.
 పదమూడు సంవత్సరాలు నిండే సరికల్లా ఆ పుస్తకాన్ని ఔపోసన పట్టడమే కాకుండా తన సొంతంగా సిద్ధాంతాలు కూడా రూపొందించడం ప్రారంభించాడు.

జీవితం
🔯బాల్యం
కుంబకోణంలోని సారంగపాణి వీధిలోని రామానుజం నివసించిన ఇల్లు

రామానుజన్ డిసెంబర్ 22, 1887 నాడు తమిళనాడు రాష్ట్రం లోని ఈరోడ్ పట్టణము నందు ఆయన అమ్మమ్మ ఇంట్లో జన్మించాడు.

 రామానుజన్ తండ్రి
కె శ్రీనివాస అయ్యంగార్ ఒక చీరల దుకాణంలో గుమస్తాగా పని చేసేవారు.
ఈయన తంజావూరు జిల్లాకి చెందిన వారు.
తల్లి కోమలటమ్మాళ్ గృహిణి మరియు ఆ ఊరిలోని గుడిలో పాటలు పాడేది.
వీరు కుంబకోణం అనే పట్టణంలో, సారంగపాణి వీధిలో, దక్షిణ భారతదేశ సాంప్రదాయ పద్దతిలో నిర్మించబడ్డ ఒక పెంకుటింట్లో నివాసం ఉండేవారు.
ఇది ఇప్పుడు మ్యూజియంగా మార్చారు.
రామానుజన్ ఒకటిన్నర సంవత్సరాల వయసులో ఉండగా ఆయన తల్లి సదగోపన్ అనే రెండో బిడ్డకు జన్మనిచ్చింది.
 కానీ మూడు నెలలు పూర్తవక మునుపే ఆ బిడ్డ కన్నుమూశాడు.
డిసెంబర్ 1889 లో రామానుజన్ కు మశూచి (అమ్మవారు) వ్యాధి సోకింది.
 కానీ తంజావూరు జిల్లాలోని ఈ వ్యాధి సోకి మరణించిన చాలామంది లాగా కాకుండా బ్రతికి బయట పడగలిగాడు.

తరువాత రామానుజన్ తల్లితోపాటు చెన్నైకి దగ్గరలో ఉన్న కాంచీపురంలో ఉన్న అమ్మమ్మ వాళ్ళింటికి చేరాడు.
 1891లో మళ్ళీ 1894 లో రామానుజన్ తల్లి ఇరువురి శిశువులకు జన్మనిచ్చినా ఏడాది తిరగక మునుపే వారు మరణించడం జరిగింది.

అక్టోబరు 1, 1892లో రామానుజన్ అదే ఊళ్ళో ఉన్న చిన్న పాఠశాలలో విద్యాభ్యాసాన్ని ప్రారంభించాడు.
మార్చి 1894లో ఇతడిని ఒక తెలుగు మాధ్యమ పాఠశాలకు మార్చడం జరిగింది.
రామానుజన్ తాత కాంచీపురం న్యాయస్థానం లోని ఉద్యోగం కోల్పోవడంతో,

రామానుజన్ తల్లితో సహా కుంబకోణం చేరుకుని అక్కడ కంగయాన్ ప్రాథమిక పాఠశాలలో చేరాడు.
నాన్న తరుపు తాత చనిపోవడంతో రామానుజన్ను మళ్ళీ మద్రాసులో నివాసం ఉంటున్న తల్లి తరుపు తాత దగ్గరికి పంపించారు.
కానీ అతనికి మద్రాసులో పాఠశాల నచ్చలేదు.
తరచూ బడికి ఎగనామం పెట్టేవాడు.
అతని తాత, అమ్మమ్మలు రామనుజన్ బడిలో ఉండేటట్లుగా చూసేందుకు వీలుగా ఒక మనిషిని కూడా నియమించారు.
కానీ ఆరు నెలలు కూడా తిరగక మునుపే కుంబకోణం ము పంపించేశారు.

రామానుజన్ తండ్రి రోజంతా పనిలో లీనమవడం మూలంగా చిన్నపుడు అతని బాధ్యతలు తల్లే చూసుకొనేది.
కాబట్టి తల్లితో చాలా గాఢమైన అనురాగం కలిగి ఉండేవాడు.
 ఆమె నుంచి రామానుజన్ సాంప్రదాయాల గురించి, కుల వ్యవస్థ గురించి, పురాణాల గురించి తెలుసుకున్నాడు.
భక్తి గీతాలు ఆలపించడం నేర్చుకున్నాడు.
ఆలయాలలో పూజలకు తప్పక హాజరయ్యేవాడు.
 మంచి ఆహారపు అలవాట్లు అలవరచుకున్నాడు.
 ఒక మంచి బ్రాహ్మణ బాలుడిగా ఉండాలంటే ఈ లక్షణాలన్నీ తప్పని సరి.

 కంగయాన్ పాఠశాలలో రామానుజన్ మంచి ప్రతిభ కనపరిచాడు.
నవంబరు 1897 లో పది సంవత్సరాల వయసు లోపలే ఆంగ్లము, తమిళము, భూగోళ శాస్త్రం, గణితం నందు ప్రాథమిక విద్య పూర్తి చేశాడు.

 మంచి మార్కులతో జిల్లాలో అందరికన్నా ప్రథముడిగా నిలిచాడు.
 1898 లో అతని తల్లి ఆరోగ్యవంతమైన శిశువుకు జన్మనిచ్చింది.
అతడికి లక్ష్మీ నరసింహం అని నామకరణం చేశారు.
 అదే సంవత్సరంలో రామానుజన్ హయ్యర్ సెకండరీ పాఠశాలలో చేరాడు.
 ఈ పాఠశాలలోనే మొట్ట మొదటి సారిగా గణితశాస్త్రంతో(formal mathematics) పరిచయం ఏర్పడింది.

🔯యవ్వనO

1909, జులై 14వ తేదీన రామానుజన్ కు జానకీ అమ్మాళ్ అనే తొమ్మిదేళ్ళ బాలికతో వివాహమైంది.
పెళ్ళైన తరువాత రామానుజన్ కు వరీబీజం వ్యాధి సోకింది.
ఇది శస్త్ర చికిత్స చేయడం ద్వారా సులభంగా నయమయ్యేదే కానీ వారికి తగినంత ధనం సమకూరక కొద్ది రోజుల పాటు అలానే ఉన్నాడు.
చివరకు 1910, జనవరి నెలలో ఒక వైద్యుడు స్వచ్చందంగా ముందుకు వచ్చి ఉచితంగా శస్త్రచికిత్స చేయడంతో ఆ గండం నుంచి బయటపడ్డాడు.
 తరువాత ఉద్యోగ ప్రయత్నాలు ఆరంభించాడు.

CBM🔯
గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే గుర్తింపు

అప్పట్లో కొత్తగా ఒక గణిత శాస్త్ర సమాజాన్ని ఏర్పరిచిన డిప్యూటీ కలెక్టర్ రామస్వామిని రామానుజన్ కలుసుకున్నాడు.
 ఆయన పని చేసే ఆఫీసులో ఒక చిన్న ఉద్యోగం కోరి ఆయనకు తాను గణితం మీద రాసు కున్న నోటు పుస్తకాలను చూపించాడు.
వాటిని చూసిన అయ్యర్ తన రచనల్లో ఇలా గుర్తు చేసుకున్నాడు.

ఆ నోటు పుస్తకాలలోని అపారమైన గణిత విజ్ఞానాన్ని చూసి నేను ఆశ్చర్యపోయాను. అంతటి గొప్ప విజ్ఞానికి ఈ చిన్న రెవెన్యూ విభాగంలో ఉద్యోగం ఇచ్చి అవమాన పరచలేను

తరువాత రామస్వామి రామానుజన్ ను కొన్ని పరిచయ లేఖలు రాసి మద్రాసులో తనకు తెలిసిన గణిత శాస్త్రవేత్తల దగ్గరకు పంపించాడు.
అతని పుస్తకాలను చూసిన కొద్ది మంది అప్పట్లో నెల్లూరు జిల్లా కలెక్టరు గా పని చేస్తున్న రామచంద్ర రావు దగ్గరకు పంపించారు.
ఈయన భారతీయ గణిత శాస్త్ర సమాజానికి కార్యదర్శి కూడా.
రామచంద్ర రావు కూడా రామానుజన్ పనితనం చూసి అబ్బురపడి, అవి అతని రచనలేనా అని సందేహం కూడా వచ్చింది.
అప్పుడు రామానుజన్ తాను కలిసిన ఒక బొంబాయి ప్రొఫెసర్ సల్ధానా గురించి, అతని రచనలు ఆ ప్రొఫెసర్ కు కూడా అర్థం కాలేదని చెప్పాడు.

🔯ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్తలతో పరిచయం

నారాయణ అయ్యర్, రామచంద్ర రావు, E.W. మిడిల్‌మాస్ట్ మొదలైన వారు రామానుజన్ పరిశోధనలను ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్తలకు చూపించడానికి ప్రయత్నించారు.
లండన్ యూనివర్సిటీ కాలేజీకి దెందిన ఎం.జే.ఎం. హిల్ అనే గణితజ్ఞుడు రామానుజన్ పరిశోధనల్లో కొన్ని లోపాలున్నాయని వ్యాఖ్యానించాడు.

హిల్ రామానుజన్ ను విద్యార్థిగా స్వీకరించేందుకు అంగీకరించలేదుగానీ, రామానుజన్ పరిశోధనలపై మంచి సలహాలు మాత్రం ఇచ్చారు.

రామానుజన్ పై ఇతర గణిత శాస్త్రవేత్తల అభిప్రాయాలు

రామానుజన్ ఆ కాలంలో సుప్రసిద్దులైన ఆయిలర్, గాస్, జాకోబి మొదలైన సహజసిద్ధమైన గణిత మేధావులతో పోల్చదగిన వాడు.
రామానుజన్ లోని ప్రతిభను గుర్తించి ప్రోత్సహించిన హార్డీ అసలు తను గణిత శాస్త్రానికి చేసిన అత్యుత్తమ సేవ రామానుజాన్ని కనుగొనడమే అని వ్యాఖ్యానించడం విశేషం..

🔯ఇంగ్లండు జీవనO

మార్చి 17, 1914న రామానుజన్ ఇంగ్లండుకు ప్రయాణమయ్యాడు.
 శాఖాహారపు అలవాట్లుగల రామానుజన్ ఇంగ్లండులో స్వయంపాకం చేసుకునే వాడు.
సరిగ్గా తినకపోవడం మూలాన,
నిరంతర పరిశోధనల వల్ల కలిగిన శ్రమ వలన,
ప్రతికూల వాతావరణ పరిస్థితుల ప్రభావం వల్ల చాలా తీవ్రమైన పరిశ్రమ చేసి 32 పరిశోధనా పత్రాలు సమర్పించాడు.
శరీరం క్రమంగా వ్యాధిగ్రస్థమైంది.
తీవ్రమైన అనారోగ్యంతో ఉన్నపుడు కూడా హార్డీతో 1729 సంఖ్య యొక్క ప్రత్యేకతను తెలియజెప్పి ఆయన్ను ఆశ్చర్యచకితుణ్ణి చేశాడు.
 ఈ సంఘటన గణితంపై ఆయనుకున్న అవ్యాజమైన అనురాగాన్ని, అంకిత భావానికి నిదర్శనం.

ఆరోగ్య పరిస్థితి విషమించడంతో 1919 మార్చిలో భారతదేశానికి తిరిగి వచ్చాడు.
బొద్దుగా, కొంచెం నల్లగా కనిపించే రామానుజన్ ఇంగ్లండు నుంచి పాలిపోయిన అస్థిపంజరం వలే తిరిగి వచ్చిన రామానుజన్ ను చూసి ఆయన అభిమానులు చలించి పోయారు.
అనేక రకాల వైద్య వసతులు కల్పించినా ఆయన కోలుకోలేక పోయారు.
 దాంతో ఆయన 1920, ఏప్రిల్ 26న పరమపదించారు.
శుద్ధ గణితంలో నంబర్ థియరీలోని ఇతని పరిశోధనలు, స్ట్రింగ్ థియరీ, క్యాన్సర్ పరిశోధనల వంటి ఆధునిక విషయాలలో ఉపయోగ పడుతూ ఉన్నాయి.
 రామానుజన్ చివరిదశలో మ్యాక్-తీటా ఫంక్షన్స్ పై చేసిన పరొశోధనలు చాలా ప్రసిద్ధమైనవి.
ఆయన ప్రతిపాదించిన కొన్ని అంశాలు కొన్ని ఇప్పటికీ అపరిష్కృతం గానే ఉండటం విశేషం.

🔯వ్యక్తిత్వం

రామానుజన్ చాలా సున్నితమైన భావాలు, మంచి పద్దతులు కలిగిన బిడియస్తుడిగా ఉండే వాడు.

ఆయన కేంబ్రిడ్జిలో ఎన్నో కష్టాలను ఎదుర్కొంటూ క్రమశిక్షణ కలిగిన జీవితాన్ని గడిపాడు.
ఆయన జీవిత చరిత్రను రాసిన మొట్టమొదటి రచయిత ఆయన్ను శుద్ధ సాంప్రదాయవాదిగా పేర్కొనడం జరిగింది.
తనకు సంక్రమించిన సామర్థ్యం అంతా తమ ఇలవేల్పు దేవత అయిన నామగిరి ప్రసాదించినదేనని రామానుజన్ బలంగా విశ్వసించేవాడు.
తనకు ఏ కష్టం కలిగినా ఆమె సహాయం కోసం ఎదురు చూసేవాడు.
ఆమె కలలో కన్పించి ఎటువంటి సమస్యకైనా పరిష్కారం చూపించగలదని భావించేవాడు.
 భగవంతునిచే ప్రాతినిధ్యం వహించబడని ఏ ఆలోచనా సూత్రం కానేరదు అని అప్పుడప్పుడూ ​అంటుటేవాడు .

రామానుజన్ అన్ని మతాలు ఒకటిగా నమ్మేవాడని హార్డీ ఒకసారి పేర్కొన్నాడు.
 ఆయన ఆధ్యాత్మికతను భారతీయ రచయితలు అతిగా అర్థం చేసుకున్నారని వివరించాడు.
అంతేకాదు, రామానుజన్ యొక్క శుద్ధ శాఖాహారపు అలవాట్లను గురించి కూడా ప్రస్థావించాడు.

🔯గుర్తింపు

రామానుజన్ స్వరాష్ట్రమైన తమిళనాడు, ఆ రాష్ట్ర వాసిగా ఆయన సాధించిన విజయాలకు గుర్తుగా ఆయన జన్మదినమైన డిసెంబర్ 22 ను రాష్ట్ర సాంకేతిక దినోత్సవంగా ప్రకటించింది.
 భారత ప్రభుత్వం 1962 వ సంవత్సరంలో ఆయన 75వ జన్మదినం నాడు, సంఖ్యా శాస్త్రంలో ఆయన చేసిన విశేష కృషిని కొనియాడుతూ స్మారక తపాలా బిళ్ళను విడుదల చేసింది.

🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄🎄

Friday, October 23, 2015

Types of Symmetry

Types of Symmetry

We will learn about all types of symmetry of various shapes in geometry. The explanation will help us to understand the different types of symmetrical shapes which possess or does not possess linear symmetry, point symmetry and rotational symmetry.

Name and draw the shape which possesses linear symmetry, point symmetry and rotational symmetry?
1. Line segment:
Types of Symmetry: Line Segment

(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry i.e. perpendicular bisector of PQ
(ii) Point symmetry possesses point symmetry mid-point O of line segment PQ
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 2 about O.

2. Rectangle:
Types of Symmetry: Rectangle

(i) Linear symmetry possesses 2 lines of symmetry. Line joins the mid-point of 2 parallel sides.
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection of diagonals as the centre of symmetry.
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 2.

3. Rhombus:
Types of Symmetry: Rhombus

(i) Linear symmetry possesses 2 lines of symmetry i.e. 2 diagonals of the rhombus
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection of diagonals as the center of symmetry.
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 2.

4. Square:
Types of Symmetry: Square

(i) Linear symmetry possesses 4 lines of symmetry, 2 diagonals and 2 lines joining the mid-point of opposite sides.
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection of diagonal.
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 4.

5. Circle:
Types of Symmetry: Circle

(i) Linear symmetry possesses infinite lines of symmetry of order 4
(ii) Point symmetry possesses point symmetry about the center O
(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of an infinite order


2. Name and draw the shape which possesses linear symmetry but no point symmetry and rotational symmetry?
1. An angle:
Types of Symmetry: An angle

(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry i.e. angle bisector
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry


2. An isosceles triangle:
Types of Symmetry: An Isosceles Triangle

(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry i.e. perpendicular bisector l.
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry


3. Semi-circle:
Types of Symmetry: Semi-circle

(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry i.e. perpendicular bisector of the diameter XY
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry


4. Kite:
Types of Symmetry: Kite

(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry i.e. diagonal QS
(ii) No point symmetry
(iii) No rotational symmetry


5. Isosceles trapezium:
(i) Linear symmetry possesses 1 line of symmetry. Line XY joins the mid-point of 2 parallel sides.
(ii) No point symmetry

(iii) No rotational symmetry

3. Name and draw the shape which possesses linear symmetry and rotational symmetry but no point symmetry?
Equilateral triangle:
Types of Symmetry: Equilateral Triangle

(i) Linear symmetry possesses 3 lines of symmetry i.e. the 3 medians of the triangle.
(ii) No point symmetry

(iii) Rotational symmetry possesses rotational symmetry of order 3.

4. Name and draw the shape which does not possess linear symmetry, point symmetry and rotational symmetry?
Scalene triangle:
Types of Symmetry: Scalene Triangle

(i) No linear symmetry
(ii) No point symmetry

(iii) No rotational symmetry

5. Name and draw the shape which does not possess linear symmetry but possesses point symmetry and rotational symmetry?
Parallelogram:
Types of Symmetry: Parallelogram

(i) Linear symmetry: No linear symmetry
(ii) Point symmetry possesses point symmetry with point of intersection o

Tuesday, October 6, 2015

Four-day school week can improve academic performance, study finds

Shortening the school week to four days has a positive impact on elementary school students' academic performance in mathematics, according to researchers at Georgia State University and Montana State University.
The study, published in the journal Education, Finance and Policy in July, analyzed the impact of a four-day school week on student achievement by comparing fourth-grade reading and fifth-grade math test scores from the Colorado Student Assessment Program (CSAP) for students who participated in a four-day school week, versus those who attended a traditional five-day school week.
The researchers found a four-day school week had a statistically significant impact on math scores for fifth-grade students, while reading scores were not affected.
The study suggests there is little evidence that moving to a four-day week compromises student academic achievement, an important finding for U.S. school districts seeking ways to cut costs without hampering student achievement.
"What interested me about our results is they were completely opposite to what we anticipated," said Mary Beth Walker, dean of the Andrew Young School of Policy Studies at Georgia State. "We thought that especially for the younger, elementary school kids, longer days on a shorter school week would hurt their academic performance because their attention spans are shorter. Also, a longer weekend would give them more opportunity to forget what they had learned."
Although the shortened school week did not have a measurable impact on reading outcomes, "the idea that the change in the calendar did not have negative effects we thought was an important result," Walker said.
A number of school districts in the United States have moved from the traditional Monday through Friday schedule to a four-day week schedule as a cost-saving measure to reduce overhead and transportation costs.
Four-day weeks have been in place for years in rural school districts in western states, particularly in Colorado, New Mexico and Wyoming. Over one-third of the school districts in Colorado have adopted a four-day schedule. The alternative schedule has also been considered in school districts in Oregon, Missouri, Florida and Georgia.
The four-day school week requires school districts to lengthen the school day to meet minimum instructional hour requirements. Previously, there was a lack of information on whether the four-day school week affects student performance, Walker said.
The researchers have speculated on why the shortened school week positively affected students but there are not enough data to draw definite conclusions.
"We thought the longer days might give teachers an opportunity to use different kinds of instructional processes," Walker said. "We also speculated that a four-day school week lowered absenteeism, so students who had dentist's appointments or events might be able to put those off until Friday and not miss school. We thought there might be less teacher absenteeism.
"My own personal hypothesis is teachers liked it so much--they were so enthusiastic about the four-day week--they did a better job. There's some evidence in other labor studies that four-day work weeks enhance productivity."
Walker notes the results are only applicable to smaller and more rural school districts. Further studies should be performed to understand the effects on urban school districts, she said.

Story Source:
The above post is reprinted from materials provided by Georgia State University. Note: Materials may be edited for content and length.

Journal Reference:
  1. D. Mark Anderson, Mary Beth Walker. Does Shortening the School Week Impact Student Performance? Evidence from the Four-Day School Week. Education Finance and Policy, 2015; 10 (3): 314 DOI: 10.1162/EDFP_a_00165#.Vd3cGGA7_Js.

Monday, September 14, 2015

MATHS Before 1000 BC

 MATHS Before 1000 BC

Saturday, September 12, 2015

Tutoring relieves math anxiety, changes fear circuits in children





http://images.sciencedaily.com/2015/09/150908180441_1_540x360.jpg
This study showed, by using fMRI, that after tutoring, the fear circuits and amygdala were no longer activated in children who had begun the study with high math anxiety. This provided confirmation that tutoring ameliorated the anxiety itself, rather than providing the kids with a coping mechanism that relies on other brain circuits.

Anxiety about doing math problems can be relieved with a one-on-one math tutoring program, according to a new study from the Stanford University School of Medicine. The tutoring fixed abnormal responses in the brain's fear circuits.
The study, which will be published Sept. 9 in The Journal of Neuroscience, is the first to document an effective treatment for math anxiety in children.
"The most exciting aspect of our findings is that cognitive tutoring not only improves performance, but is also anxiety-reducing," said the study's senior author, Vinod Menon, PhD, professor of psychiatry and behavioral sciences. "It was surprising that we could, in fact, get remediation of math anxiety."
Even if they are good at math, many children feel anxious about doing math problems. For some, the anxiety persists throughout life, discouraging them from pursuing advanced math and science classes as well as careers that rely on mathematical expertise. Yet almost no attention has been paid to how to help alleviate this problem.
"Math anxiety has been under the radar," said the study's lead author, research associate Kaustubh Supekar, PhD. "People think it will just go away, but for many children and adults, it doesn't."
Measuring math anxiety
The new research was based on the idea that the principles of exposure-based therapy for treating phobias might also apply to alleviation of math anxiety. Phobias, such as the fear of spiders, can be relieved in affected individuals by repeatedly exposing them in a safe environment to the thing they fear.
The new study included 46 children in third grade. Before receiving tutoring, each child took a test that assessed his or her level of math anxiety. The children were divided into two groups -- one with high math anxiety, the other with low math anxiety -- based on whether their math anxiety scores fell above or below the median score for all of the children. They also completed standard neuropsychological assessments and were tested on simple addition problems while having their brains scanned via functional magnetic resonance imaging. The brain scans of the children with high levels of math anxiety showed activation in the brain's fear circuits and so-called "fear center," or amygdala, before tutoring, replicating a finding that Menon and colleagues published in 2012.
After the first fMRI scan, children participated in an intensive, eight-week tutoring program consisting of 22 lessons involving addition and subtraction problems. Tutors gave the lessons to each child individually. After tutoring, the math anxiety test and fMRI scans were repeated.
All of the children performed better on addition and subtraction problems after tutoring. The children who started the study with high levels of math anxiety had reduced anxiety after tutoring, while those in the low-math-anxiety group had no change in their anxiety levels.
Anxiety alleviated
After tutoring, the fear circuits and amygdala were no longer activated in children who had begun the study with high math anxiety, confirming that tutoring ameliorated the anxiety itself, rather than providing the kids with a coping mechanism that relies on other brain circuits.
"It's reassuring that we could actually help these children reduce anxiety by mere exposure to problems," Supekar said.
The researchers plan to conduct future studies to figure out what aspects of the one-on-one tutoring were helpful. Menon wants to test whether the interaction between tutors and students in a social context plays a role, or whether computerized tutoring can result in the same benefits and brain circuit changes.
"The tutoring has a standard protocol, but is also personalized," said Menon, who holds the Rachael L. and Walter F. Nichols, MD, Professorship. "If a child is stuck at a particular concept, the tutor tries to get the child beyond the bottleneck in a non-negative, encouraging way." Because the tutoring happens one-on-one, children do not have the opportunity to feel fearful about not performing as well as their peers, which may also help. "We need more research to understand that," Menon added.
The researchers also want to investigate whether the anxiety-reducing effects of tutoring will persist as children move on to learning more complex problem-solving skills.